mirror of
https://github.com/TMD44/elte-ik-pti-bsc-zarovizsga.git
synced 2025-08-13 22:39:04 +02:00
Újabb 2015-ös kidolgozás hozzáadva
This commit is contained in:
TMD44
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,834 @@
|
||||
\documentclass[12pt,margin=0px]{article}
|
||||
|
||||
\usepackage[a4paper, margin=1in]{geometry}
|
||||
\usepackage[hungarian]{babel}
|
||||
\usepackage[normalem]{ulem}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{fontawesome}
|
||||
\usepackage{enumitem}
|
||||
\usepackage{fancyhdr}
|
||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usepackage{makecell}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{positioning,calc,shapes.multipart,arrows,arrows.meta,matrix,automata,shapes.misc}
|
||||
|
||||
\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}
|
||||
\DeclareMathOperator\arcsinh{arcsinh}
|
||||
\DeclareMathOperator\arccosh{arccosh}
|
||||
\DeclareMathOperator\sh{sinh}
|
||||
\DeclareMathOperator\ch{cosh}
|
||||
|
||||
\geometry{
|
||||
a4paper,
|
||||
total={170mm,257mm},
|
||||
left=20mm,
|
||||
right=20mm,
|
||||
top=20mm,
|
||||
bottom=20mm
|
||||
}
|
||||
|
||||
\setlist[itemize,1]{label=$\bullet$}
|
||||
\setlist[itemize,2]{label=$\circ$}
|
||||
\setlist[itemize,3]{label=$\centerdot$}
|
||||
\setlist[itemize,4]{label=$\cdot$}
|
||||
|
||||
\pagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\newcommand\blfootnote[1]{%
|
||||
\begingroup
|
||||
\renewcommand\thefootnote{}\footnote{#1}%
|
||||
\addtocounter{footnote}{-1}%
|
||||
\endgroup
|
||||
}
|
||||
|
||||
\renewcommand{\figurename}{ábra}
|
||||
|
||||
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
|
||||
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
|
||||
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
|
||||
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
|
||||
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
\renewcommand\paragraph{%
|
||||
\@startsection{paragraph}{4}{0mm}%
|
||||
{-\baselineskip}%
|
||||
{.5\baselineskip}%
|
||||
{\normalfont\normalsize\bfseries}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\useunder{\uline}{\ul}{}
|
||||
\fancyhead{}
|
||||
\cfoot{11. tétel | \thepage. oldal}
|
||||
|
||||
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
|
||||
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
|
||||
|
||||
\tikzset{declare function={y(\x)=\x^2;},
|
||||
plot fill/.style={fill=white!75},
|
||||
plot/.style={draw=black!80, thick},
|
||||
bar/.style={fill=cyan, draw=white, thick},
|
||||
marking/.style={fill=cyan!50!black, draw=cyan!50!black},
|
||||
axis/.style={thick, draw=black!65, stealth-stealth}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
\hyphenation{oddword}
|
||||
\uchyph=0
|
||||
{\Large\bfseries\noindent 11. Formális nyelvek} \\
|
||||
|
||||
\section*{Formális nyelvtanok és a Chomsky-féle nyelvosztályok}
|
||||
|
||||
{\footnotesize \noindent {\color{blue} \faLightbulbO\ $\triangleright$ } }
|
||||
|
||||
\subsection*{Alapfogalmak\\}
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Ábécé, szó\\}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \textbf{\emph{Ábécének}} nevezzük egy tetszőleges véges szimbólumhalmazt.
|
||||
\item Az ábécé elemeit \textbf{\emph{betűk}}nek hívjuk.
|
||||
\item Egy $V$ ábécé elemeiből képzett \emph{véges sorozatokat} $V$ feletti \textbf{\emph{szavaknak}}.
|
||||
\item Adott $v \in V$ \textbf{\emph{szó hossza}} a benne szereplő betűk száma. Jelölése: $l(v)$ vagy $|v|$.
|
||||
\item A $V$ ábécé feletti $\varepsilon$ szót \textbf{\emph{üres szó}}nak nevezzük, ha $l(\varepsilon) = 0$.
|
||||
\item $V^{0} := \{\varepsilon \}$
|
||||
\item $V^{n} := V \times V^{n - 1},\ n \geq 1$
|
||||
\item A $V$ ábécé feletti szavak halmazát (beleértve az üres szót is) $\boldsymbol{V^*}$-gal jelöljük.\\
|
||||
$V^{*} := \bigcup\limits_{i = 0}^{\infty}V^{i} = V^{0} \cup V^{1} \cup \ldots$ a V \textbf{\emph{ábécé lezártja}}.
|
||||
\item A nemüres szavak halmazát $\boldsymbol{V^+}$-szal jelöljük ($V^{+} := V^{*}\backslash\{\varepsilon\}$).\\
|
||||
$V^{+} := \bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}V^{i} = V^{1} \cup V^{2} \cup \ldots$ a V \textbf{\emph{ábécé pozitív lezártja}}.\\
|
||||
|
||||
Példa: $V:= \{a, b\}$\\
|
||||
$V^{*} := \{\varepsilon, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, \ldots\}$\\
|
||||
$V^{+} := \{a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, \ldots\}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Szavak konkatenációja\\}
|
||||
|
||||
\noindent Legyenek \emph{u} és \emph{v} szavak egy V ábécé felett. Ekkor a két szó \textbf{\emph{konkatenációjának}} nevezzük azt a szimbólumsorozatot, amelyet a két szó szimbólumainak egymás után fűzésével kapunk. Jelölése: \emph{uv}.\\
|
||||
|
||||
\noindent \emph{Példa}: $V = \{a,b,c\},\ u = abb, v = cbb$. Ekkor $uv = abbcbb$.\\
|
||||
|
||||
\noindent A konkatenáció asszociatív, de nem kommutatív művelet, melynek egységeleme $\varepsilon$.\\
|
||||
|
||||
\noindent Így $V^{*}$ a konkatenációval mint művelettel és $\varepsilon$-nal egységelemes félcsoportot alkot.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \noindent $V^*$ zárt a konkatenációra.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
u,v \in V^* \Rightarrow uv \in V^*
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\item $\varepsilon$ egységelem $V^*$-gal és a konkatenációval:
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
u \in V^* \Rightarrow u\varepsilon \in V^* \textrm{, és }\varepsilon u \in V^*
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent Legyen $v \in V^{*}$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $v^{0} = \varepsilon$ (bármely szó nulladik hatványa az üres szó)
|
||||
\item $v^{n} = vv^{n-1}\quad (n \geq 1)$ (bármely szó n. hatványa a szó n-szeres konkatenációja)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Egyéb definíciók}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $u,v \in V$. Az $u$ szót a $v$ \textbf{\emph{részszavának}} nevezzük, ha $ \textbf{v} = x\textbf{u}y , \ (x,y \in V)$ teljesül.\\
|
||||
Ha még $xy\neq\varepsilon$, akkor $u$ \textbf{\emph{valódi részszó}}.
|
||||
|
||||
\emph{Példa}: $v = aabbbcc \in V$ Az $u = abbbc$ valódi részszava $v$-nek.
|
||||
|
||||
\item $ v = xuy \ (x,y,u,v \in V)$. Ekkor:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Ha $x=\varepsilon$, akkor $u$-t a $v$ szó \textbf{\emph{prefix}}ének nevezzük\\
|
||||
\emph{Példa}: $v = aabbbcc$. Az $u = aabbb$ szó prefixe $v$-nek.
|
||||
\item Ha $y=\varepsilon$, akkor $u$-t a $v$ szó \textbf{\emph{szufix}}ének nevezzük\\
|
||||
\emph{Példa}: $v = aabbbcc$. Az $u = bbbcc$ szó szufixe $v$-nek.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\item Egy $u\in V$ szó tükörképe alatt a szimbólumai fordított sorrendben való felírását értjük. (Jelölése: $u^{-1}$)
|
||||
\noindent Legyen $u = a_1 \ldots a_n,\ a_i \in V,\ 1 \leq i \leq n$, ekkor
|
||||
\[
|
||||
u^{-1} = a_n \ldots a_1
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent {\footnotesize $\triangleleft$ \faLightbulbO }
|
||||
|
||||
\subsection*{Formális nyelvtanok és a Chomsky-féle nyelvosztályok}
|
||||
|
||||
\paragraph*{Nyelv}
|
||||
|
||||
\noindent A $V^{*}$ valamely részhalmazát ($2^{V^{*}}$ valamely elemét) a $V$ ábécé feletti \textbf{\emph{nyelv}}nek nevezzük. Jelölése: L. $(L \subset V^*)$.\\
|
||||
|
||||
\noindent Az üres nyelv (egy szót sem tartalmaz) jele: $\emptyset$\\
|
||||
|
||||
\noindent $L$ nyelv \textbf{\emph{véges nyelv}}, ha véges számú szót tartalmaz, különben \textbf{\emph{végtelen nyelv}}.\\
|
||||
|
||||
\noindent $L_1 = \Big\{a,b,\varepsilon \Big\}$ \emph{véges} nyelv, $L_2 = \Big\{a^ib^i\ \Big|\ 0 \leq i\Big\}$ \emph{végtelen} nyelv.\\
|
||||
|
||||
\noindent \emph{Megjegyzés}: A formális nyelv nem más, mint egy adott ABC jeleiből alkotott tetszőleges hosszú szavak halmazának részhalmaza, vagyis a formális nyelv egy adott ABC jeleiből alkotható, meghatározott szavak halmaza. A formális nyelv állhat véges sok szóból, állhat végtelen sok szóból és tartalmazhatja az üres szót is.\\
|
||||
|
||||
\noindent Nyelvek valamely összességét nyelvosztálynak, nyelvcsaládnak hívjuk. Jelölése: $\mathcal{L}_i$ .\\
|
||||
|
||||
\paragraph*{Nyelvekre vonatkozó műveletek}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ L_1 \cup L_2 = \Big\{\ u\ |\ \ u \in L_1 \vee u \in L_2\ \Big\}$ : az $L_1$ és $L_2$ nyelv uniója
|
||||
\item $ L_1 \cap L_2 = \Big\{\ u\ |\ \ u \in L_1 \wedge u \in L_2\ \Big\}$ : az $L_1$ és $L_2$ nyelv metszete
|
||||
\item $ L_1 - L_2 = \Big\{\ u\ |\ \ u \in L_1 \wedge u \notin L_2\ \Big\}$ : az $L_1$ és $L_2$ nyelv különbsége
|
||||
\item $\overline{L} = V^* - L$ : az $L \subseteq V^*$ komplementere
|
||||
\item $L_1L_2 = \Big\{\ u_1u_2\ |\ \ u_1 \in L_1, u_2 \in L_2\ \Big\}$ : az $L_1$ és $L_2$ nyelv konkatenációja\\
|
||||
|
||||
Minden nyelvre fennáll: $\emptyset L = L \emptyset = \emptyset$ illetve $\{\varepsilon\}L = L\{\varepsilon\} = L$
|
||||
\item $L^i$ : az $L$ nyelv $i$-edik hatványa, és
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $L^0 = \{\varepsilon\}$
|
||||
\item $L^i = L^{i-1}L \qquad (i \geq 1)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item $ L^* = \bigcup\limits_{i \geq 0} L^i$ : az $L$ nyelv iteratív lezártja
|
||||
\item $ L^+ = \bigcup\limits_{i \geq 1} L^i$ nyelvet értjük
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent Az \emph{unió}, \emph{konkatenáció} és \emph{iteráció lezárása} műveleteket \emph{reguláris műveletek}nek nevezzük.
|
||||
|
||||
\paragraph*{Nyelvekre vonatkozó leképezések}
|
||||
|
||||
\noindent Legyen $V_1,\ V_2$ ábécé.
|
||||
|
||||
\noindent A $h: V_1 \to V_2$ leképezést \textbf{\emph{homomorfizmus}}nak nevezzük, ha
|
||||
\[
|
||||
h(uv) = h(u)h(v) \qquad \forall u,v \in V_1^{*}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\noindent Valamint minden $u = a_1a_2\ldots a_n$ szóra, ahol $a_i \in V,\ 1 \leq i \leq n$ fenáll, hogy
|
||||
\[
|
||||
h(u) = h(a_1)h(a_2)\ldots h(a_n)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\noindent Legyen $h: V_1 \to V_2$ homomorfizmus.
|
||||
\noindent A $h$ \textbf{\emph{homomorfizmus $\varepsilon$-mentes}}, ha
|
||||
\[
|
||||
h(u) \neq \varepsilon,\ \forall u \in V_1^{*}\ \text{szóra},\ \text{ahol}\ u \neq \varepsilon
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\noindent Egy $h$ homomorfizmust \textbf{\emph{izomorfizmus}}nak nevezzük, ha bármely $\forall u, v \in V_1^{*}$ szóra teljesül, hogy
|
||||
\[
|
||||
h(u) = h(v) \Rightarrow u = v
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\noindent \emph{Példa}: izomorfizmus (decimális számok bináris reprezentációja):
|
||||
\begin{center}
|
||||
$V_1 = \Big\{0,1,2,\ldots,9\Big\},\ V_2 = \Big\{0,1\Big\}$\\
|
||||
$h(0) = 0000,\ h(1) = 0001,\ \ldots,\ h(9) = 1001$
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\paragraph*{Nyelvek megadása}
|
||||
|
||||
\noindent A formális nyelvek megadási módszereitől elvárjuk, hogy a leírás véges legyen.\\
|
||||
|
||||
\noindent A formális nyelv megadható:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item felsorolással (csak véges nyelvek esetén).
|
||||
\item a szavakat alkotó szabály szöveges leírásával.\\
|
||||
Például: \emph{Legyen $L_2$ a páratlan számok nyelve}.
|
||||
\item a szavakat alkotó szabály matematikai leírásával.\\
|
||||
Például: $V := \{a, b\}$ és legyen $L := \{u\ |\ u = a^{n}b^{n} \wedge n \in \mathbb{N}\}$
|
||||
\item generatív grammatika segítségével.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsection*{Grammatika}
|
||||
|
||||
\noindent A nyelveket megadhatjuk nyelvtanukkal is, vagyis egy szabályrendszerrel, aminek a felhasználásával a nyelv mondatai levezethetők. Egy generatív nyelvtan a jelsorozatok transzformációs szabályait leíró szabályok halmazából áll. A nyelvet alkotó jelsorozatok létrehozásához szükséges, hogy legyen egy egyedi „kezdő” szimbólum, ezután csak a szabályokat kell egymás után alkalmazni (bárhányszor, tetszés szerinti sorrendben) a kezdő szimbólum átalakítására. A nyelv azokból a jelsorozatokból áll, amelyeket az említett módon elő lehet állítani.\\
|
||||
|
||||
\noindent Tegyük fel például, hogy egy ábécéhez a 'a' és a 'b' szimbólumok tartoznak, a kezdő szimbólum pedig legyen az 'S' és adottak a következő szabályok:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $S \to aSb$
|
||||
\item $S \to ba$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent Kezdő szimbólumunk az 'S', de ezután kiválaszthatjuk, hogy melyik szabályt alkalmazzuk a jelsorozat következő elemének előállításához. \\
|
||||
|
||||
\noindent \emph{Példa}:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Ha az 1-es szabályt választjuk, akkor annak alapján az 'S' szimbólumot a 'aSb'-al helyettesítjük, eredményül tehát a "aSb" jelsorozatot kapjuk. \\
|
||||
\item Ha most ismételten az 1-es szabály alkalmazását választjuk, akkor helyettesítjük az 'S' szimbólumot a 'aSb'-vel, és akkor a "aaSbb" jelsorozatot kapjuk.\\
|
||||
\item Ezt az eljárást addig ismételhetjük, amíg az ábécé szimbólumai megengedik.\\
|
||||
\item Befejezve a példát, most válasszuk a 2-es szabályt, helyettesítsük az 'S' szimbólumot a 'ba' jelsorozattal, eredményül pedig a "aababb" jelsorozatot kapjuk, és ezzel be is fejeztük.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent A nyelvtan által meghatározott nyelv nem lesz más, mint az összes olyan jelsorozat halmaza, amelyeket ezzel az eljárással elő tudunk állítani:
|
||||
\[
|
||||
\Big\{ba, abab, aababb, aaababbb, \ldots \Big\}
|
||||
\]
|
||||
\newpage
|
||||
\noindent A $G$ generatív nyelvtan egy $\Big<N,T,\mathcal{P},S\Big>$ négyest értünk, ahol:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $N$ és $T$ diszjunkt ábécék, a nemterminális ($N$) és terminális ($T$) szimbólumok ábécéi.
|
||||
\item $S\in N$ a kezdőszimbólum.
|
||||
\item $\mathcal{P}$ az $(x,y)$ rendezett párok halmaza, ahol $x,y \in (N \cup T)^*$ és $x$ legalább egy nemterminális szimbólumot tartalmaz. \\
|
||||
A $\mathcal{P}$ halmaz elemeit átírási szabályoknak nevezzük.\\
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent \emph{Megjegyzés}: $N\ \cap\ T = \emptyset$ és az $(x,y)$ jelölés helyett az $x \rightarrow y$ jelölést alkalmazzuk.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Példa}: $N = \Big\{S, B\Big\},\ T = \Big\{a, b, c\Big\}$\\
|
||||
$\mathcal{P}$:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[(1)] $S \to aBSc$
|
||||
\item[(2)] $S \to abc$
|
||||
\item[(3)] $Ba \to aB$
|
||||
\item[(4)] $Bb \to bb$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
És $S \in N$ nemterminális kezdőszimbólum.\\
|
||||
|
||||
\noindent Ekkor $L(G)$, a G grammatika által generált nyelvben generált néhány szimbólumsorozat.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\small
|
||||
\item[] $S \to (2)\ abc$
|
||||
\item[] $S \to (1)\ aB\textbf{S}c \to (2)\ a\textbf{Ba}bcc \to\ (3)\ aa\textbf{Bb}cc \to (4)\ aabbcc$
|
||||
\item[] $S \to (1)\ aB\textbf{S}c \to (1)\ aBaB\textbf{S}cc \to (2)\ a\textbf{Ba}Babccc \to\ (3)\ aaB\textbf{Ba}bccc \to (3)\ aa\textbf{Ba}Bbccc \to (3)\ aaaB\textbf{Bb}ccc \to (4)\ aaa\textbf{Bb}bccc \to (4)\ aaabbbccc$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent (zárójelben az adott lépésre alkallmazott szabály azonosítója, a helyettesíthető rész pedig kiemelt terminális, nem terminális).
|
||||
|
||||
\noindent A $G$ grammatika által leírt nyelv: $L(G) := \Big\{a^nb^nc^n\ \Big|\ n > 0\Big\}$.
|
||||
|
||||
\subsection*{Levezetés}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Mondatforma}: Mondatformának nevezzük terminális és nemterminális szimbólumok véges sorozatát: $(N \cup T)^{*}$.\\
|
||||
|
||||
\paragraph*{Közvetlen levezetés}
|
||||
|
||||
$ G = \Big<N,T,\mathcal{P},S\Big>$, és $u,v \in (N\cup T)^*$. A $v$ mondatforma közvetlenül (egy lépésben) levezethető $u$ mondatformaból $G$-ben, ha
|
||||
\[
|
||||
\textbf{u} = w_1\textbf{x}w_2, \ v = w_1\textbf{y}w_2\textrm{, ahol} \ \boldsymbol{x \rightarrow y} \in \mathcal{P} \quad (w_1, w_2 \in (N \cup T)^*)
|
||||
\]
|
||||
Jelölése: $ u \xrightarrow[G]{} v$\\
|
||||
|
||||
\paragraph*{Közvetett levezetés}
|
||||
|
||||
\noindent Azt mondjuk, hogy a $v$ mondatforma közvetetten levezethető az $u$ mondatformaból $G$-ben, ha létezik olyan $(\mathbb{N} \ni k \geq 0)$ szám és $x_0, x_1, \ldots, x_k \in (N \cup T)^{*}$ mondhatformák úgy, hogy
|
||||
\[
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
u = x_0 \\
|
||||
v = x_{k}
|
||||
\end{array}
|
||||
\quad \textrm{és} \quad x_i \xrightarrow[G]{} x_{i+1} \quad (1 \leq i \leq k-1)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\noindent Másképp: A $v$ mondatforma levezethető az $u$ mondatformából G-ben (jele: $ u \xrightarrow[G]{}^{*} v $), ha $u=v$ vagy $\exists z \in (N\cup T)^*$ mondatforma, hogy $ u \xrightarrow[G]{}^* z $ és $ z \xrightarrow[G]{} v $
|
||||
|
||||
\paragraph*{Generált nyelv}
|
||||
|
||||
\noindent A $G$ formális nyelvtan által generált nyelv szavai a kezdőszimbólumból levezethető szavak.
|
||||
|
||||
\noindent $L(G)$ a $G=\Big<N,T,\mathcal{P},S\Big>$ grammatika által generált nyelv, ha:
|
||||
\[
|
||||
L(G) = \Big\{w \in T^{*}\ |\ S \xrightarrow[G]{}^{*} w\Big\}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
{\footnotesize \noindent {\color{blue} \faLightbulbO\ $\triangleright$ } }
|
||||
{\footnotesize
|
||||
\noindent \textbf{Ekvivalens nyelvtanok}: A $G_1$ és $G_2$ nyelvtanok ekvivalensek, ha $L(G_1) = L(G_2)$, azaz ugyanazt a nyelvet generálják. Jelölése: $G_1 \sim G_2$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Kvázi ekvivalens nyelvtanok}: A $G_1$ és $G_2$ nyelvtanok kvázi ekvivalensek, ha $L(G_1)\backslash\{\varepsilon\}= L(G_2)\backslash\{\varepsilon\}$, azaz legfeljebb az üres szó tartalmazásában különböznek. Jelölése: $G_1 \begin{array}{c} \sim \\ kv \end{array} G_2$
|
||||
$\triangleleft$ \faLightbulbO}
|
||||
|
||||
\subsection*{Generatív nyelvtanok osztályozása}
|
||||
|
||||
\noindent A generatív nyelvtanok osztályozását a szabályok alakja alapján tehetjük meg.\\
|
||||
|
||||
\noindent $G = \Big<N,T,\mathcal{P},S\Big>$ generatív grammatika $i$-típusú ($i=0,1,2,3$), ha $\mathcal{P}$ szabályhalmazára a következők teljesülnek:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \emph{\textbf{Mondatszerű grammatika}} (i=0)\\ \\
|
||||
Tetszőleges, azaz $p\textbf{A}q \rightarrow \textbf{B}$ alakú, ahol, $A \in N,\ p,\ q,\ B \in (N \cup T)^{*}$
|
||||
\item \emph{\textbf{Környezetfüggő grammatika}} (i=1)\\ \\
|
||||
$p\textbf{A}q \rightarrow p\textbf{B}q$ alakú, ahol, $A \in N,\ p,\ q,\ B \in (N \cup T)^{*}$\\
|
||||
és $B \neq \varepsilon$, kivéve az $S \rightarrow \varepsilon$ szabály (ha létezik), ekkor $S$ nem fordul elő egyetlen szabály jobboldalán sem.
|
||||
|
||||
Itt az A nemterminális szimbólum adott $p,\ q$ szavak esetén helyettesíthető egy $pAq$ mondatformában egy $B \in (N \cup T)^{+}$ szóval. Azaz, az $p = q = \varepsilon$ kivételével A helyettesítése B-vel, függ A környezetétől.
|
||||
|
||||
Továbbá minden $\omega_1 \to \omega_2 \in \mathcal{P}$ szabályra (kivéve $S \rightarrow \varepsilon$): $l(\omega_1) \leq l(\omega_2)$
|
||||
\item \emph{\textbf{Környezetfüggetlen grammatika}} (i=2)\\ \\
|
||||
$A \rightarrow q$, ahol $A \in N,\ q \in (N \cup T)^{*}$.\\
|
||||
\item \emph{\textbf{Reguláris grammatika}} (i=3)\\ \\
|
||||
$A \rightarrow vB$ vagy $A \rightarrow v$ alakú, ahol, $A,B\in N,\ v \in T^*$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent A 3. típusú grammatikákat ill. nyelveket \emph{jobb lineáris}aknak is nevezzük, mivel minden szabály jobb oldalán legfeljebb egy nemterminális állhat és az is csak a jobb oldal végén.\\
|
||||
|
||||
\noindent A különböző típusú nyelvtanok összességét \textbf{\emph{nyelvtani osztályoknak}} hívjuk és $\mathcal{G}_{i}$ jelöljük.
|
||||
\[
|
||||
\mathcal{G}_{i} := \big\{\text{i. típusú nyelvtanok}\big\}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\noindent A definíciók alapján: $\mathcal{G}_3 \subseteq \mathcal{G}_2 \subseteq \mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_0$.\\
|
||||
|
||||
\noindent A nyelvtani osztályozást felhasználva a nyelveket is osztályozhatjuk:
|
||||
\[
|
||||
\mathcal{L}_{i} := \Big\{L\ \big|\ \text{L nyelv, és van olyan}\ G \in \mathcal{G}_{i},\ \text{amelyre}\ L(G) = L \Big\}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\noindent Az előző nyelv hierarchia alapján $ \mathcal{L}_3 \subseteq \mathcal{L}_2 \subseteq \mathcal{L}_1 \subseteq \mathcal{L}_0 $ az ún. \textbf{\emph{Chomsky-féle hierarchia}}.\\
|
||||
|
||||
\noindent Igaz a hierarchia erősebb változata is: $\mathcal{L}_3 \subset \mathcal{L}_2 \subset \mathcal{L}_1 \subset \mathcal{L}_0$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Nem minden nyelv írható le nyelvtannal.\\
|
||||
|
||||
{\footnotesize \noindent {\color{blue} \faLightbulbO\ $\triangleright$ } }
|
||||
{\footnotesize
|
||||
\noindent Miért érdekes a Chomsky-féle osztályozás?\\
|
||||
|
||||
\noindent Az algoritmusok - mint ismeretes - problématípusok (problémaosztályok) megoldására szolgáló lépéssorozatok. A generatív grammatikákkal kapcsolatban több, számítógéppel (esetleg) megoldható probléma merül fel, melyekre algoritmusok készíthetők. Nagyon fontos annak eldöntése, hogy ha egy konkrét generatív grammatika egy konkrét problémájának megoldására kifejlesztett algoritmus alkalmazható-e más grammatika ugyanazon problémájára, illetve mennyi módosítással alakítható át.\\
|
||||
|
||||
\noindent Amennyiben a két grammatika ugyanazon Chomsky-osztályba tartozik, úgy egy jól megfogalmazott algoritmus váza a paraméterektől eltekintve elvileg alkalmazható lesz.\\
|
||||
|
||||
\noindent Másik fontos indok, ami miatt fontos ismerni egy grammatika Chomsky-osztályát, hogy igazolható bizonyos problémakörökről, hogy nem készíthető hozzá általános érvényű megoldó algoritmus.
|
||||
$\triangleleft$ \faLightbulbO}\\
|
||||
|
||||
\noindent Az $\mathcal{L}_i \ (i=0,1,2,3)$ \emph{nyelvosztályok mindegyike zárt a nyelveken végezhető műveletekre nézve}. Tehát valahányszor $\mathcal{L}$-beli nyelveken végezzük el a műveletet, mindannyiszor $\mathcal{L}$-beli nyelvet kapunk eredményül. \\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. (\emph{Kis Bar-Hillel lemma}): Tetszőleges $L \in \mathcal{L}_3$ nyelvhez $\exists n(L) > 0 \in \mathbb{Z}$, hogy $\forall u \in L,\ l(u) \geq n: u = xyz$ a következő tulajdonságokkal bír:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $y \neq \varepsilon$
|
||||
\item $l(xy) \geq n$
|
||||
\item $\forall i = 0,1,\ldots: xy^{i}z \in L$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent Azaz L nyelv minden szavának elég hosszú részszavában létezik elég rövid, nem üres, beiteralható részszó. pl. K-B HL $\Rightarrow HE \not \in \mathcal{L}_3$. HE: A $\left\{(,)\right\}$ ábécé feletti helyes zárójelezések halmaza.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. (\emph{Zártság}): $\mathcal{L}_3$ zárt az unió, konkatenáció, lezárás, komplementerképzés, metszet, különbség és szimmetrikus differencia műveletekre nézve.\\
|
||||
|
||||
{\footnotesize \noindent {\color{blue} \faLightbulbO\ $\triangleright$ } }
|
||||
{\footnotesize
|
||||
\noindent \textbf{Zsákutca}: Olyan nyelvtani jel, melyből az adott 2. típusú nyelvtanban nem vezethető le terminális szó.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Nem elérhető nyelvtani jel}: Olyan nyelvtani jel, mely az adott 2. típusú nyelvtanban semmilyen, a kezdőszimbólumból történő levezetésben nem szerepel.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Láncszabály}: Egy $G$ grammatika egy $x \to y \in \mathcal{P}$ szabálya láncszabály, ha $x,\ y \in N$, azaz nemterminálisok.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Láncszabálymentes nyelvtan}: Egy nyelvtan láncszabálymentes, ha nincs láncszabálya.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Epszilon-szabály}: Egy $G$ grammatika egy $x \to y \in \mathcal{P}$ epszilon-szabály, ha $y = \varepsilon$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Korlátozott epszilon-szabály (KeS)}: Egy $G = \Big<N,T,\mathcal{P},S\Big>$ nyelvtanra teljesül a korlátozott epszilonszabály, ha nincsenek epszilonszabályai az $S \to \varepsilon$ szabály esetleges kivétel, de ez esetben minden $x \to y \in \mathcal{P}$ szabályra $y \in (N \cup T \backslash \{S\})^{*}$ (azaz semelyik szabály jobboldala sem tartalmazza a kezdőszimbólumot).
|
||||
$\triangleleft$ \faLightbulbO}\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Epszilonmentes nyelvtan}: Egy nyelvtan epszilonmentes, ha teljesül rá az epszilon-szabály.
|
||||
|
||||
\section*{Automaták}
|
||||
|
||||
Formális nyelvek megadása nemcsak generatív, hanem felismerő eszközökkel is lehetséges, azaz olyan számítási eszközök segítségével, amelyek szavak feldolgozására és azonosítására alkalmasak.
|
||||
Ilyen eszköz például az automata, amely egy szó, mint input hatására kétféleképpen viselkedhet: vagy \emph{elfogadja}, vagy \emph{elutasítja}.
|
||||
|
||||
\subsection*{Véges automaták}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Definíció}. A véges automata egy rendezett ötös,
|
||||
\[
|
||||
\mathcal{A}=\Big<Q,T,\delta,q_0, F\Big>
|
||||
\]
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Q - állapotok véges, nemüres halmaza
|
||||
\item T - bementi szimbólumok ábécéje (véges)
|
||||
\item $\delta : Q \times T \rightarrow Q$ - állapot-átmeneti függvény
|
||||
\item $q_0 \in Q$ - kezdőállapot
|
||||
\item $F \subseteq Q$ - végállapotok halmaza
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent \emph{Működése}:\\
|
||||
|
||||
\noindent A véges automata diszkrét időintervallumokban végrehajtott lépések sorozata által működik. Minden egyes lépés során az automata elolvassa a következő input szimbólumot és átmegy egy olyan állapotba, amelyet az állapotátmeneti függvény meghatároz (az aktuális állapot és input szimbólum alapján).\\
|
||||
|
||||
\noindent Kezdetben az $A$ véges automata a $q_0$ kezdőállapotban van és az olvasófej az input szalagon levő $u \in T^*$ szó első betűjét dolgozza fel. Ezután a véges automata lépések sorozatát végrehajtva elolvassa az input $u$ szót; betűről betűre haladva olvas és új állapotba kerül.\\
|
||||
|
||||
\noindent Miután az $u$ input szó utolsó betűjét is elolvasta a véges automata, vagy $q \in F,$ azaz elfogadó állapotba kerül, és akkor az $u$ szót az automata elfogadja, vagy az új állapot nem lesz eleme $F$-nek, és ekkor az automata a szót nem fogadja el.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Automata által felismert nyelv}: Az automata által felismert nyelv azon szavak halmaza, amelyekre a kezdő állapotból valamelyik végállapotba jut, azaz
|
||||
\[
|
||||
L(\mathcal{A}) = \Big\{u \in T^{*}\ \Big|\ \delta(q_0,u) \in F\Big\}.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\paragraph*{Az automata megadási módszerei}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \emph{Átmeneti gráf}: Olyan irányított gráf, melynek pontja az állapotok, és $A$ állapotból $t$-vel címkézett él fut $B$ állapotba, ha $\delta(A, t) = B$.
|
||||
\item \emph{Táblázat}: egyik tengelyén az állapotok, a másikon a terminálisok találhatók\\
|
||||
- lényegében az átmeneti gráf mátrixreprezentációja.
|
||||
\item \emph{Képlet}: a $\delta$ függvény megadása valamilyen zárt számítási képlettel, formulával.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\paragraph*{VDA - Véges determinisztikus automata}
|
||||
|
||||
\noindent A $\delta$ függvény egyértékű, ezért minden egyes $(q, a)$ párra, ahol $(q, a) \in Q \times T$ egyetlen olyan $s$ állapot létezik, amelyre $\delta(q, a) = s$ teljesül. Ezért ezt a véges automatát determinisztikusnak nevezzük.\\
|
||||
|
||||
\paragraph*{VNDA - Véges nemdeterminisztikus automata}
|
||||
|
||||
\noindent Ha többértékű állapot-átmeneti függvényt is megengedünk, azaz $\delta : Q \times T \rightarrow 2^Q$, akkor nemdeterminisztikus véges automatáról beszélünk. (Ebben az esetben aktuális állapotnak egy állapothalmaz valamely elemét, mintsem egyetlen állapotot tekinthetünk.)\\
|
||||
|
||||
\noindent Ez azt jelenti, hogy a kezdeti állapot helyettesíthető egy $Q_0 \subseteq Q$ kezdőállapot halmazzal.\\
|
||||
\noindent (És az is előfordulhat, hogy egy a input szimbólum esetén $\delta(q, a)$ üres az aktuális állapotok mindegyikére.)
|
||||
|
||||
\paragraph*{Tulajdonságok}
|
||||
|
||||
Az állapot-átmeneteket
|
||||
\[
|
||||
qa \rightarrow p
|
||||
\]
|
||||
alakú szabályok formájában is írhatjuk $p \in \delta(q, a) $ esetén. Jelöljük $M_\delta$-val az $A = \Big<Q, T, \delta,Q_0, F\Big>$ nemdeterminisztikus véges automata $\delta$ állapot-átmenet függvénye által az előbbi módon származó szabályok halmazát.\\
|
||||
|
||||
\noindent Ha minden egyes $(q, a)$ párra egyetlen $qa \rightarrow p$ szabály van $M_\delta$-ban, akkor a véges automata determinisztikus, egyébként nemdeterminisztikus.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Közvetlen redukció: \\
|
||||
Legyen $A = (Q, T, \delta, q_0, F)$ egy véges automata és legyenek $u, v \in QT^*$ szavak. Azt mondjuk, hogy az $A$ automata az $u$ szót a $v$ szóra redukálja egy lépésben/közvetlenül. Ha van olyan $qa \rightarrow p$ szabály $M_\delta$-ban, és van olyan $w \in T^*$ szó, amelyre $u = qaw$ és $v = pw$ teljesül.
|
||||
|
||||
\item Redukció:\\
|
||||
Az $A = (Q, T, \delta, q_0, F)$ véges automata az $u \in QT^*$ szót a $v \in QT^*$ szóra redukálja $(u \Longrightarrow_A^* v)$, ha $u = v$, vagy $ \exists z \in QT^*$, amelyre $u \Longrightarrow_A^* z$ és $z \Longrightarrow_A v$ teljesül.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent Az automata által elfogadott nyelv:\\
|
||||
\noindent Az $A = \Big<Q, T, \delta, q_0, F\Big>$ véges automata által elfogadott/felismert nyelv alatt az
|
||||
\[
|
||||
L(A) = \Big\{u \in T^* | \ q_0u \Longrightarrow_A^* p, \quad q_0 \in Q_0 \textrm{ és } p \in F\Big\}
|
||||
\]
|
||||
szavak halmazát értjük. (Az üres szó, akkor és csak akkor van benne az automata által elfogadott $L(A)$ nyelvben, ha $Q_0 \cap F \neq \emptyset$).\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Minden $A$ nemdeterminisztikus véges automatához meg tudunk adni egy 3-típusú $G$ grammatikát úgy, hogy $L(G) = L(A)$ teljesül.\\
|
||||
% \ \\
|
||||
% \textbf{3. típusú nyelvtan konstrukciója automatából}: A konstrukció alapötlete a következő:
|
||||
% \begin{enumerate}
|
||||
% \item hozzuk normálformára a nyelvtant,
|
||||
% \item a nyelvtani jeleket feleltessük meg az automata állapotainak,
|
||||
% \item $q_0$-t rendeljük az S startszimbólumhoz,
|
||||
% \item $q \to tq' \in \mathcal{P} \Leftrightarrow \delta(q, t) = q'$,
|
||||
% \item $q \to \varepsilon \in \mathcal{P} \Leftrightarrow q \in F.$
|
||||
% \end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Minden 3-típusú G grammatikához meg tudunk adni egy $A$ véges automatát úgy, hogy $L(A) = L(G)$ teljesül.\\
|
||||
|
||||
\noindent Ezek után fenáll a kérdés: Létezik-e olyan reguláris nyelv, amely VNDA-val felismerhető, de nem ismerhető fel VDA-val? \\
|
||||
\noindent Válasz: Nincs.
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Minden $A = (Q, T, \delta,Q_0, F)$ VNDA-hoz meg tudunk konstruálni egy $A' = (Q', T, \delta', q_0', F')$ VDA-t úgy, hogy $L(A) = L(A')$ teljesül.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Automata konstrukciója 3. típusú nyelvből.} A fentihez hasonló, fordított konstrukcióval készíthető 3. típusú nyelvtan alapján automata, ez azonban nem mindig lesz determinisztikus - ha nemdeterminisztikus állapotátmeneti függvényt kapunk, az automatát még determinisztikussá kell tennünk.\\
|
||||
|
||||
\subsection*{Veremautomaták}
|
||||
|
||||
\paragraph*{Definíció}
|
||||
|
||||
Az egy veremmel rendelkező (1-verem) automatát a következő hetessel azonosítjuk
|
||||
\[
|
||||
A = \Big<Q, T, \Sigma, \delta, q_0, \sigma_0, F\Big>
|
||||
\]
|
||||
ahol
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Q - az állapotok véges halmaza
|
||||
\item T - input ábécé
|
||||
\item $\Sigma$ - veremábécé
|
||||
\item $\delta : Q \times (T \times \cup \{\varepsilon\}) \times \Sigma) \rightarrow 2^{Q \times \Sigma^{*}},\ |\delta(q,t,\sigma)| < \infty$ - átmeneti függvény
|
||||
\item $q_0 \in Q $ - kezdőállapot
|
||||
\item $\sigma_{0} \in \Sigma $ - a verem kezdőszimbóluma
|
||||
\item $F \subseteq Q$ - az elfogadó állapotok halmaza
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
{\footnotesize \noindent {\color{blue} \faLightbulbO\ $\triangleright$ } }
|
||||
{\footnotesize
|
||||
\noindent A veremautomata egy ütemben kiolvassa a központi egység állapotát, az input szó aktuális szimbólumát és a verem tetőelemét, ennek függvényében új állapotba kerül, a verem tetőelemét felülírja egy vagy több jellel (azaz egy szóval), az input szó következő betűjére áll az olvasófej (kivéve $\varepsilon$-mozgás) és a tetőmutató az új tetőelemre áll.\\
|
||||
|
||||
\noindent A veremautomata konfigurációja alatt egy $uq$ alakú szót értünk, ahol $u \in Z^*$ a verem aktuális tartalma és $q \in Q$ az aktuális állapot. \\
|
||||
\noindent A kezdeti konfiguráció $\sigma_0q_0$.\\
|
||||
|
||||
\noindent Működés: \\
|
||||
|
||||
\noindent Tegyük fel, hogy az $A$ veremautomata olvasófeje az $a$ inputszimbólumon áll, a veremautomata $q$ állapotban van, valamint a verem tetején levő szimbólum $z$. Legyen $ \delta(z, q, a) = {(u_1, r_1), . . . , (u_n, r_n)}$, ahol $u_i \in Z^*$ és $r_i \in Q, 1 \leq i \leq n$. Ekkor $A$ következő állapota valamely $r_i$ lesz és egyidejűleg $z$-t helyettesíti az $u_i$ szóval, továbbá az olvasófej egy cellával jobbra lép az input szalagon.\\
|
||||
Ha $\delta(z, q, \varepsilon)$ nem üres, akkor ún. $\varepsilon$-átmenet hajtható végre.
|
||||
|
||||
\noindent Ha az input szalag a $w \in T^*$ szót tartalmazza és a $z_0q_0$ kezdeti konfigurációból kiindulva a lépések sorozatát végrehajtva az $A$ veremautomata egy $up$ konfigurációba ér, ahol $p$ elfogadó állapot, akkor azt mondjuk, hogy $A$ elfogadta a $w$ szó.
|
||||
$\triangleleft$ \faLightbulbO}\\
|
||||
|
||||
\noindent A veremautomata elfogadja a szót, ha üres a verem, és elfogadó állapotban van.\\
|
||||
|
||||
\paragraph*{Tulajdonságok}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Közvetlen redukció: \\
|
||||
$\alpha, \beta \in Z^*QT^*$\\
|
||||
Az $A$ veremautomata az $\alpha $ szót a $\beta$ szóra redukálja egy lépésben ($\alpha \Longrightarrow_A \beta$), ha:
|
||||
\[
|
||||
\exists z \in Z, \ p,q \in Q, \ a \in T \cup \{\varepsilon\}, \ r,u \in Z^* \textrm{ és } w\in T^*
|
||||
\]
|
||||
hogy:
|
||||
\[
|
||||
(u,p) \in \delta(z,q,a) \textrm{ és } \alpha = rzqaw \textrm{ és } \beta = rupw
|
||||
\]
|
||||
\item Redukció: \\
|
||||
Az A veremautomata az $\alpha$ szót a $\beta$ szóra redukálja ($\alpha \Longrightarrow_A^* \beta$), ha vagy $\alpha = \beta$, vagy
|
||||
$ \exists \gamma_1,...,\gamma_n \in Z^*QT^*$ szavakból álló véges sorozat, hogy $\alpha = \gamma_1, \ \beta = \gamma_n, \quad \textrm{ és } \quad \\ {\gamma_i \Longrightarrow_A \gamma_{i+1} \quad (i=1,...,n-1)}$
|
||||
\item A veremautomata által elfogadott nyelv: \\
|
||||
Az A veremautomata által (elfogadó állapottal) elfogadott nyelv:
|
||||
\[
|
||||
L(A) = \Big\{ w \in T^* | \ z_0q_0w \Longrightarrow_A^* up, \textrm{ ahol } u \in Z^*, p \in F \Big\}
|
||||
\]
|
||||
\item Determinizmus: \\
|
||||
A $\delta$ leképezést szabályok formájában is megadhatjuk. Az így nyert szabályhalmazt $M_\delta$-val jelöljük. Tehát
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $zqa \rightarrow up \in M_\delta$ ha $(u, p) \in \delta(z, q, a)$
|
||||
\item $zq \rightarrow up \in M_\delta$ ha $(u, p) \in \delta(z, q, \varepsilon)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Az $A = (Z,Q, T,\delta, z_0, q_0, F)$ veremautomatát determinisztikusnak mondjuk, ha minden $(z, q) \in Z \times Q$ pár esetén:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\forall a \in T: |\delta(z, q, a)| = 1$ és $\delta(z, q, \varepsilon) = \emptyset$
|
||||
|
||||
vagy
|
||||
\item $|(z, q, \varepsilon)| = 1 $ és $\forall a \in T: \delta(z, q, a) = \emptyset$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Üres veremmel elfogadott nyelv: \\
|
||||
Az $N(A)$ nyelvet az $A$ veremautomata üres veremmel fogadja el, ha
|
||||
\[
|
||||
N(A) = \Big\{w \in T^* | \ z_0q_0w \Longrightarrow_A^* p, \textrm{ ahol } p \in Q \Big\}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Tétel. Az 1-verem automatákkal felismerhető nyelvek osztálya megegyezik a 2. típusú grammatikák által generált nyelvek osztályával, azaz $\mathcal{L}_{V} = \mathcal{L}_{2}$.
|
||||
|
||||
\section*{Reguláris nyelvek tulajdonságai és alkalmazásai}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Reguláris nyelv}: Reguláris nyelveknek nevezzük az alábbi három tulajdonsággal definiált ($\mathcal{L}_{REG}$) nyelvosztály elemeit:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[(1)] $\mathcal{L}_{REG}$ tartalmazza az elemi nyelveket: $\emptyset, \{\varepsilon\},\{a\}\qquad (a \in U)$ (U: univerzális ábécé)
|
||||
\item[(2)] $\mathcal{L}_{REG}$ zárt az \emph{unió}, \emph{konkatenáció} és a \emph{lezárás} műveletekre.
|
||||
\item $\mathcal{L}_{REG}$ a legszűkebb olyan nyelvosztály, mely az $(1),\ (2)$ feltételeknek megfelel.\\
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
{\footnotesize \noindent {\color{blue} \faLightbulbO\ $\triangleright$ } }
|
||||
{\footnotesize\\
|
||||
\noindent \textbf{Reguláris kifejezés}: A reguláris kifejezések a reguláris nyelvek egyszerűsített leírását jelentik, ahol:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item az elemi reguláris kifejezések: $\emptyset, \varepsilon, a \qquad (a \in U)$
|
||||
\item ha $R_1$ és $R_2$ reguláris kifejezések, akkor $(R_1 \cup R_2), (R_1R_2),R_1^{*}$ is $V$ ábécé feletti reguláris kifejezések
|
||||
\item a reguláris kifejezések halmaza a legszűkebb, melyre az előbbi két pont teljesül\\
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{V ábécé feletti reguláris kifejezések} (rekurzív definíció)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item az elemi reguláris kifejezések: $\emptyset, \varepsilon, a \qquad (a \in V)$
|
||||
\item ha $R_1$ és $R_2$ $V$ ábécé feletti reguláris kifejezések, akkor $(R_1 \cup R_2), (R_1R_2),R_1^{*}$ is reguláris kifejezések
|
||||
\item a $V$ ábécé feletti reguláris kifejezések halmaza a legszűkebb, melyre az előbbi két pont teljesül\\
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{V ábécé feletti általánosított reguláris kifejezések} (rekurzív definíció)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item az elemi reguláris kifejezések: $\emptyset, \varepsilon, a \qquad (a \in V)$
|
||||
\item ha $R_1$ és $R_2$ $V$ ábécé feletti általánosított kifejezések, akkor $(R_1 \cup R_2), (R_1R_2), R_1^{*}, (R_1 \cap R_2), \overline{R_1}$ is $V$ ábécé feletti általánosított reguláris kifejezések
|
||||
\item a $V$ ábécé feletti általánosított reguláris kifejezések halmaza a legszűkebb, melyre az előbbi két pont teljesül\\
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Reguláris kifejezések szemantikája} (rekurzív definíció)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item az $\emptyset, \varepsilon, a$ reguláris kifejezések rendre az $\emptyset, \{\varepsilon\}, \{a\}$ nyelveket reprezentálják
|
||||
\item ha $R_1$ az $L_1$ és $R_2$ az $L_2$ nyelvet reprezentálja, akkor $(R_1 \cup R_2),\ (R_1R_2),\ R_1^{*}$ rendre az $L_1 \cup L_2,\ L_1L_2,\ L_1^{*}$ nyelveket reprezentálja
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Reguláris kifejezések általánosított szemantikája} (rekurzív definíció)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item az $\emptyset, \varepsilon, a$ reguláris kifejezések rendre az $\emptyset, \{\varepsilon\}, \{a\}$ nyelveket reprezentálják
|
||||
\item ha $R_1$ az $L_1$ és $R_2$ az $L_2$ nyelvet reprezentálja, akkor $(R_1 \cup R_2),\ (R_1R_2),\ R_1^{*}, \overline{R_1}$ rendre az $L_1 \cup L_2,\ L_1L_2,\ L_1^{*}, \overline{L_1}$ nyelveket reprezentálja
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\paragraph*{Axiómák}
|
||||
|
||||
\noindent $P,Q,R$ reguláris kifejezések. Ekkor fennállnak a következő tulajdonságok:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Asszociativitás:
|
||||
\[
|
||||
P+(Q+R) = (P+Q)+R
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
P\cdot(Q\cdot R) = (P\cdot Q)\cdot R
|
||||
\]
|
||||
\item Kommutativitás:
|
||||
\[
|
||||
P+Q = Q+P
|
||||
\]
|
||||
\item Disztributivitás:
|
||||
\[
|
||||
P\cdot (Q+R) = P\cdot Q + P\cdot R
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
(P+Q)\cdot R = P\cdot R + Q\cdot R
|
||||
\]
|
||||
\item Egységelem:
|
||||
\[
|
||||
\varepsilon\cdot P = P\cdot\varepsilon = P
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
P^* = \varepsilon + P \cdot P^*
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
P^* = (\varepsilon+P)^*
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent A fenti axiómák azonban még önmagukban nem elegendőek az összes reguláris kifejezés előállítására (helyettesítés segítségével). Szükség van még az alábbi inferencia szabályra:
|
||||
\[
|
||||
P=R+P\cdot Q \quad \land \quad \varepsilon \notin Q \quad \Longrightarrow \quad P = R\cdot Q^*
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\noindent Vegyük még hozzá az $\emptyset$ szimbólumot a reguláris kifejezések halmazához, amely az üres nyelvet jelöli. (Ebben az esetben nincs szükségünk az $\varepsilon$ szimbólumra, mivel $\emptyset^* = \{\varepsilon\}$). Így, a definícióban helyettesíthetjük az $\varepsilon$ szimbólumot az $\emptyset$ szimbólummal. Ekkor helyettesítjük $\varepsilon$-t a megelőző axióma rendszerben $(\emptyset)^*$-gal és még egy további axiómát tekintünk:
|
||||
\[
|
||||
\emptyset\cdot P = P\cdot\emptyset = \emptyset
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\noindent A fenti szabályok elégségesek ahhoz, hogy levezessünk minden érvényes egyenlőséget reguláris kifejezések között.
|
||||
|
||||
\paragraph*{Reguláris kifejezések és reguláris nyelvek}
|
||||
|
||||
\noindent Minden reguláris kifejezés egy reguláris (3-típusú) nyelvet jelöl, és megfordítva, minden reguláris nyelvhez megadható egy, ezen nyelvet jelölő reguláris kifejezés.\\
|
||||
$\triangleleft$ \faLightbulbO}\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. (\emph{Kleene-tétel}): $\mathcal{L}_{REG} = \mathcal{L}_{3}$, azaz a reguláris nyelvek osztálya megegyezik a véges determinisztikus automatával előállítható nyelvek osztályával.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Az $\mathcal{L}_3$ nyelvosztály zárt a komplementer, a metszet, a különbség és aszimmetrikus differencia műveletekre, a zártsági tétel miatt pedig zárt az unió, konkatenáció és a lezárás műveletekre is.\\
|
||||
|
||||
\subsection*{Reguláris nyelvek felhasználási területei\\}
|
||||
|
||||
Bár a reguláris nyelvtanok az összes nyelvek viszonylag szűk osztályát jelölik ki, könnyű kezelhetőségük miatt gyakorlati alkalmazásuk rendszeres.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{\emph{Lexikális elemző}} (scanner): A fordítóprogramok legalsó szintjén, a lexikális elemek felderítésében nagy szerepet játszanak a 3. típusú nyelvtanok: általában reguláris kifejezésekkel azonosítják a nyelv lexikális elemeit.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{\emph{Mintaillesztés}}: Mintaillesztési feladatokban (pl. adatok között/szövegben történő keresés) reguláris kifejezéssel írható le az illesztendő minta. Ebből általában véges determinisztikus automatát (például Knuth-Morris-Pratt automatát) generálnak.\\
|
||||
|
||||
{\footnotesize \noindent {\color{blue} \faLightbulbO\ $\triangleright$ } }
|
||||
{\footnotesize
|
||||
\subsection*{Lineáris grammatikák és nyelvek}
|
||||
|
||||
\paragraph*{Definíció}
|
||||
|
||||
\noindent Egy $\Big<N,T,\mathcal{P},S\Big>$ környezetfüggetlen grammatikát lineárisnak nevezünk, ha minden szabálya:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A\rightarrow u, \quad A \in N, u \in T^*$
|
||||
\item $A\rightarrow u_1Bu_2, \quad A,B\in N, u_1,u_2 \in T^*$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent Továbbá $G$-t bal-lineárisnak, illetve jobb-lineárisnak mondjuk, ha $u_1 = \varepsilon$, illetve $u_2 = \varepsilon$ minden 2. alakú szabályra.
|
||||
|
||||
\noindent Egy $L$ nyelvet lineárisnak, bal-lineárisnak, illetve jobb-lineárisnak mondunk, ha van olyan $G$ lineáris, bal-lineáris, illetve jobb-lineáris grammatika, amelyre $L = L(G)$ teljesül.
|
||||
|
||||
\paragraph*{Lineáris és reguláris grammatikák, nyelvek}
|
||||
|
||||
\noindent A jobb-lineáris grammatikák azonosak a reguláris grammatikákkal (3-típusúak).
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Minden bal-lineáris grammatika reguláris (3-típusú) nyelvet generál.\\
|
||||
$\triangleleft$ \faLightbulbO}\\
|
||||
|
||||
\section*{Környezetfüggetlen nyelvek tulajdonságai és elemzésük}
|
||||
|
||||
\subsection*{Környezetfüggetlen grammatikák normálformái}
|
||||
|
||||
\noindent Környezetfüggetlen grammatikák normálformái olyan grammatikai transzformációval előállított grammatikák, melyek:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item bizonyos szintaktikai feltételeknek/tulajdonságoknak tesznek eleget
|
||||
\item (általában) valamilyen szempontból egyszerűbbek, mint az eredeti grammatikák
|
||||
\item ugyanazt a nyelvet generálják (így ugyanazon típusba tartoznak)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Minden $\Big<N,T,\mathcal{P},S\Big>$ környezetfüggetlen grammatikához meg tudunk konstruálni egy vele ekvivalens $G' = \Big<N',T,\mathcal{P}',S'\Big>$ környezetfüggetlen grammatikát úgy, hogy: $G'$ minden szabályának jobboldala nemüres szó [kivéve azt az esetet, mikor $\varepsilon \in L(G)$, ekkor $S' \rightarrow \varepsilon$ az egyetlen szabály, melynek jobboldala az üres szó és ekkor $S'$ nem fordul elő $G'$ egyetlen szabályának jobboldalán sem.]
|
||||
|
||||
\paragraph*{$\varepsilon$-mentes grammatika}
|
||||
|
||||
\noindent A $G$ grammatika $\varepsilon$-mentes, ha egyetlen szabályának jobboldala sem az üres szó.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Minden környezetfüggetlen $G$ grammatikához meg tudunk konstruálni egy $G'$ $\varepsilon$-mentes környezetfüggetlen grammatikát, amelyre $L(G') = L(G) - \{\varepsilon\}$ teljesül.\\
|
||||
|
||||
\paragraph*{Chomsky normálforma}
|
||||
|
||||
\noindent A $G = \Big<N,T,\mathcal{P},S\Big>$ környezetfüggetlen grammatikát Chomsky-normálformájúnak mondjuk, ha minden egyes szabálya:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $X \rightarrow a$, ahol $X \in N, a \in T$
|
||||
\item $X \rightarrow YZ$, ahol $X,Y,Z \in N$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Minden $\varepsilon$-mentes $\Big<N,T,\mathcal{P},S\Big>$ környezetfüggetlen grammatikához meg tudunk konstruálni egy vele ekvivalens $G' = \Big<N',T,\mathcal{P}',S'\Big>$ Chomsky-normálformájú környezetfüggetlen grammatikát.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. (az előző következménye): Minden $G$ környezetfüggetlen grammatika esetében eldönthető, hogy egy $u$ szó benne van-e $G$ grammatika által generált nyelvben.\\
|
||||
|
||||
\paragraph*{Redukált grammatika}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item A környezetfüggetlen grammatika egy nemterminálisát \textbf{\emph{inaktívnak/nem aktívnak}} nevezzük, ha nem vezethető le belőle terminális szó.
|
||||
\item A környezetfüggetlen grammatika egy nemterminálisát \textbf{\emph{nem elérhetőnek}} nevezzük, ha nem fordul elő egyetlen olyan szóban sem, amely a kezdőszimbólumból levezethető.
|
||||
% \item Egy nemterminálist nem hasznosnak mondunk, ha vagy inaktív, és/vagy nem elérhető.
|
||||
\item Az, hogy egy $A$ nemterminális elérhető-e vagy aktív-e, az eldönthető.
|
||||
\item \emph{Egy környezetfüggetlen grammatika redukált}, ha minden nemterminálisa \emph{aktív} és \emph{elérhető}.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\paragraph*{Elemzés}
|
||||
|
||||
\noindent A környezetfüggetlen nyelvtanok segítségével szintaxisfát építhetünk. Sikeres szintaxisfafelépítés esetén az elemzés sikerült, különben szintaktikai hibát találunk. Módszerek: legbal levezetés, legjobb levezetés.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Minden környezetfüggetlen grammatikához meg tudunk konstruálni egy vele ekvivalens redukált környezetfüggetlen grammatikát.
|
||||
|
||||
\subsection*{Levezetési fa}
|
||||
|
||||
\noindent A környezetfüggetlen grammatikák levezetéseit fákkal is jellemezhetjük. A levezetési fa egy szó előállításának lehetőségeiről ad információkat. A levezetési fa egy irányított gráf, amely speciális tulajdonságoknak tesz eleget:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item A gyökér cimkéje: $S$
|
||||
\item A többi csúcs cimkéje ($N\cup T$) valamely eleme
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent A levezetési fa nem minden esetben adja meg a levezetés során alkalmazott szabályok sorrendjét. Két levezetés lényegében azonos, ha csak a szabályok alkalmazásának sorrendjében különbözik.\\
|
||||
|
||||
\noindent Egy környezetfüggetlen grammatika minden levezetési fája egy egyértelmű (egyetlen) legbaloldalibb levezetést határoz meg. A legbaloldalibb levezetés során minden levezetési lépésben a legbaloldalibb nemterminálist kell helyettesítenünk.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}. Minden környezetfüggetlen grammatikáról eldönthető, hogy az általa generált nyelv az üres nyelv-e vagy sem.
|
||||
|
||||
\subsection*{Bar-Hillel Lemma}
|
||||
|
||||
\noindent Minden $L \in \mathcal{L}_2$ (környezetfüggetlen nyelvhez) meg tudunk adni két nyelvfüggő $p$ és $q$ egész konstanst ($p=p(L),\ q = q(L)$), amelyekre ha $u \in L$ és $|u| > p$, akkor $u-nak$ létezik a következő felbontása
|
||||
\[
|
||||
u = xyzvw \qquad (u,x,w,y,v \in T^*),\ \text{melyre}
|
||||
\]
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $|yzv| \geq q$,
|
||||
\item $|yv| > 0$,
|
||||
\item $xy^{i}zv^{i}w \in L \qquad (\forall i \geq 0)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\noindent A Bar-Hillel lemma azt mondja ki, hogy egy végtelen környezetfüggetlen nyelvben minden elég hosszú szóhoz végtelen sok "hasonló szerkezetű szó" van.\\
|
||||
|
||||
\noindent $G$ generált $L$ nyelv esetén, ha $|N| = l$, akkor $L$-beli szavak hossza legfeljebb $2^l$.\\
|
||||
|
||||
\section*{Kiegészítés}
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{l|c}
|
||||
Minden környezet független nyelv felismerhető veremautomatával & $\checkmark$ \\ \hline \\
|
||||
Minden környezet független nyelv felismerhető 1 veremmel & $\checkmark$ \\ \hline \\
|
||||
Minden 3. típusú nyelv felismerhető VNDA-val & $\checkmark$ \\ \hline \\
|
||||
Minden 0-veremautomata véges determinisztikus automata & $\checkmark$ \\ \hline \\
|
||||
Minden rekurzív nyelv rekurzívan felsorolható & $\checkmark$ \\ \hline \\
|
||||
Minden (kiterjesztett)3. típusú nyelvtan 1. típusú nyelvtan & \checkmark \\ \hline \\
|
||||
Minden nyelvtannal leírt nyelv parciálisan rekurzív & \checkmark \\ \hline \\
|
||||
Minden rekurzívan felsorolható nyelv parciálisan rekurzív & \checkmark \\ \hline \\
|
||||
Minden Chomsky 1. típusú nyelv rekurzív nyelv & \checkmark \\ \hline \\
|
||||
Minden Chomsky 2. típusú nyelv rekurzívan felsorolható nyelv & \checkmark \\ \hline \\
|
||||
Minden Chomsky 2. típusú nyelv rekurzív nyelv & \checkmark \\ \hline \\
|
||||
Minden parciálisan rekurzív nyelv környezet\-függő & $\bigotimes$ \\ \hline \\
|
||||
Minden parciálisan rekurzív nyelv reguláris & $\bigotimes$ \\ \hline \\
|
||||
Minden nyelvtannal leírt nyelv rekurzívan felsorolható & $\bigotimes$ \\ \hline \\
|
||||
Minden nyelvtannal leírt nyelv reguláris & $\bigotimes$ \\ \hline \\
|
||||
Minden nyelvtannal leírt nyelv rekurzív & $\bigotimes$ \\ \hline \\
|
||||
Minden nyelvtannal leírt nyelv felismertethető VDA-val & $\bigotimes$ \\ \hline \\
|
||||
Minden Chomsky 1. típusú nyelv felismerhető 1 veremmel & $\bigotimes$ \\ \hline \\
|
||||
Minden Chomsky 1. típusú nyelv felismerhető VDA-val & $\bigotimes$ \\ \hline \\
|
||||
Minden rekurzívan felsorolható nyelv reguláris & $\bigotimes$ \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Reference in New Issue
Block a user