mirror of
https://github.com/TMD44/elte-ik-pti-bsc-zarovizsga.git
synced 2025-08-12 13:59:07 +02:00
2018 ZV tételek kidolgozások
This commit is contained in:
BIN
3. Numerikus módszerek/3. Numerikus módszerek.pdf
Normal file
BIN
3. Numerikus módszerek/3. Numerikus módszerek.pdf
Normal file
Binary file not shown.
482
3. Numerikus módszerek/3. Numerikus módszerek.tex
Normal file
482
3. Numerikus módszerek/3. Numerikus módszerek.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,482 @@
|
||||
\documentclass[margin=0px]{article}
|
||||
|
||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage{graphicx}
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
\usepackage[a4paper, margin=0.7in]{geometry}
|
||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{fancyhdr}
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\usepackage{pdfpages}
|
||||
|
||||
\onehalfspacing
|
||||
|
||||
\newenvironment{tetel}[1]{\paragraph{#1 \\}}{}
|
||||
|
||||
\pagestyle{fancy}
|
||||
\lhead{\it{PTI BSc Záróvizsga tételek}}
|
||||
\rhead{3. Numerikus módszerek}
|
||||
|
||||
\title{\textbf{{\Large ELTE IK - Programtervező Informatikus BSc} \vspace{0.2cm} \\ {\huge Záróvizsga tételek}} \vspace{0.3cm} \\ 3. Numerikus módszerek}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\begin{tetel}{Numerikus módszerek}
|
||||
Nemlineáris egyenletek iterációs módszerei: fixpont iterációk, Newton iteráció. Interpoláció: Lagrange- és Newton-féle alak. Legkisebb négyzetek módszere. Numerikus integrálás: interpolációs formulák, Newton-Cotes formulák, egyszerű és összetett formulák.
|
||||
\end{tetel}
|
||||
|
||||
\section{Nemlineáris egyenletek iterációs módszerei}
|
||||
|
||||
Eddig egyenletrendszerekkel foglalkoztunk, melyekben minden egyenlet lineáris volt. Most módszereket
|
||||
fogunk keresni az $f(x) = 0$ típusú egyenletek megoldására, ahol $f \in \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. A módszerek
|
||||
lényege az lesz, hogy valamilyen szempont szerint egy számsorozatot állítunk elő, melyek bizonyos
|
||||
feltételek mellett az egyenlet gyökéhez konvergálnak.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Bolzano-tétel}: Legyen $f \in C[a,b]$ és $f(a)f(b) <0$, azaz az $f$ függvény az $a$ és $b$
|
||||
pontokban nem $0$, valamint ellenkező előjelű. Ekkor létezik $(a,b)$ intervallumbeli gyöke az $f$-nek, azaz
|
||||
$\exists x^{*} \in (a,b): f(x^{*}) = 0$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{A Bolzano-tétel következménye}: Ha a Bolzano-tétel feltételei mellett még $f$ szigorúan monoton is, akkor
|
||||
az $x^{*}$ egyértelműen létezik (hiszen $f$ invertálható).\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Brouwer-féle fixponttétel}: Legyen $f : [a,b] \to [a,b]$ és $f \in C[a,b]$. Ekkor $\exists
|
||||
x^{*} \in [a,b]: x^{*} = f(x^{*})$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Legyen $f : [a,b] \to [a,b]$, $f \in C^{1}[a,b]$ és $f'$ állandó előjelű. Ekkor $\exists!
|
||||
x^{*} \in [a,b]: x^{*} = f(x^{*})$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Fixponttétel [a,b]-re}: Legyen $f : [a,b] \to [a,b]$ kontrakció a $q$ kontrakciós együtthatóval.
|
||||
Ekkor:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\exists! x^{*} \in [a,b]: x^{*} = f^{x*}$,
|
||||
|
||||
\item $\forall x_{0} \in [a,b]: x_{k+1} = f(x_{k})$ konvergens és $x^{*} = \lim\limits_{k \to \infty} x_{k}$,
|
||||
|
||||
\item $| x_{k} - x^{*} | \leq q^{k} | x_{0} - x^{*}| \leq q^{k}(b-a)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{p-adrendű konvergencia}: Az $(x_{k})$ konvergens sorozat ($\lim\limits_{k \to \infty} x_{k} = x^{*}$)
|
||||
$p$-adrendben konvergens, ha
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\lim\limits_{k \to \infty} \frac{|x_{k+1} - x^{*}|}{|x_{k}-x^{*}|^{p}} = c > 0
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Néhány megjegyzés a fenti definícióhoz:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $p$ egyértelmű és $p \geq 1$
|
||||
|
||||
\item $p=1$ esetén lineáris $p=2$ esetén kvadratikus, $1 < p < 2$ esetén szuperlineáris
|
||||
|
||||
\item A gyakorlatban az $|x_{k+1} - x^{*}| \leq M|x_{k} - x^{*}|^{p}$ alakot használják, azt jelenti, hogy
|
||||
legalább $p$-adrendben konvergens.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Tegyük fel, hogy az $(x_{k})$ sorozat konvergens,
|
||||
$x_{k+1} = f(x_{k})$ és $f'(x^{*}) = f''(x^{*}) = ... = f^{(p-1)}(x^{*}) = 0$, de $f^{(p)}(x^{*}) \not = 0$.
|
||||
Ekkor az $(x_{k})$ $p$-adrendben konvergens.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Newton-módszer}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/newton_pelda}
|
||||
\caption{A Newton-módszer ötlete.}
|
||||
\label{fig:newton_pelda}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Az ábrán a legszélső, 4.12-es pontból indulunk, felvesszük a függvény ehhez a ponthoz tartozó
|
||||
érintőjét, majd ennek az érintőnek a gyöke lesz a következő pont, és így tovább. Általánosan,
|
||||
tekintsük az $f$ függvény $x_{k}$ ponthoz tartozó érintőjének egyenletét:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
y - f(x_{k}) = f'(x_{k}) (x-x_{k})
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Mint mondtuk, az iteráció $x_{k+1}$. elemét az $x_{k}$-hoz tartozó érintő gyöke adja meg:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
0 - f(x_{k}) = f'(x_{k}) (x_{k+1}-x_{k}) \Rightarrow
|
||||
- \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})} = x_{k+1} - x_{k} \Rightarrow
|
||||
x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
A fenti képlet a Newton-módszer képlete. Megjegyezhető, hogy a fenti módszer is $x_{k+1} = g(x_{k})$
|
||||
alakú (fixpontiteráció).
|
||||
|
||||
Fontos megemlíteni, hogy $f'(x_{k}) = 0$ esetén nem értelmezhető a módszer. A gyakorlatban $f'(x_{k}) \approx 0$ is probléma.
|
||||
Ha $x^{*}$ többszörös gyök, akkor $f'(x^{*}) = 0$, vagyis $x^{*}$ közelében $f'(x_{k})$ egyre jobban közelít $0$-hoz, numerikusan
|
||||
instabil.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Monoton konvergencia tétele}: Tegyük fel, hogy $f \in C^{2}[a,b]$ és
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\exists x^{*} \in [a,b] : f(x^{*}) = 0$, azaz van gyök
|
||||
|
||||
\item $f'$ és $f''$ állandó előjelű
|
||||
|
||||
\item $x_{0} \in [a,b]$ legyen olyan, hogy $f(x_{0}) f''(x_{0})) >0$, azaz $f(x_{0}) \not = 0$, valamint $f(x_{0})$ és $f''(x_{0})$
|
||||
azonos előjelűek
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent Ekkor az $x_{0}$-ból indított Newton-módszer monoton konvergál $x^{*}$-hoz.
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Lokális konvergencia tétele}: Tegyük fel, hogy $f \in C^{2}[a,b]$ és
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\exists x^{*} \in [a,b] : f(x^{*}) = 0$, azaz van gyök
|
||||
|
||||
\item $f'$ állandó előjelű
|
||||
|
||||
\item $0<m_{1} \leq |f'(x)| (x \in [a,b])$ alsó korlát
|
||||
|
||||
\item $f''(x) \leq M_{2} (x \in [a,b])$ felső korlát, $M:= \frac{M}{2m_{1}}$
|
||||
|
||||
\item $x_{0} \in [a,b]: |x_{0} - x^{*}| < r = \min \left\{\frac{1}{M}, |x^{*}-a|, |x^{*}-b|\right\}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent Ekkor az $x_{0}$-ból indított Newton-módszer másodrendben konvergens, hibabecslése:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
|x_{k+1} - x^{*}| \leq M|x_{0} - x^{*}|^{2}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
\subsubsection{Húrmódszer}
|
||||
|
||||
Továbbra is $f(x) = 0$ megoldása a cél egy adott $[a, b]$ intervallumon.
|
||||
Az eljárás lényege a következő. Kezdetben $x_{0} := a, x_{1} := b$, majd meghúzzuk ezen pontok által
|
||||
képzett egyenest. Legyen $x_{2}$ a húr gyöke. Ha $f(x_{2}) = 0$, akkor megtaláltuk a gyököt. Ha $f(x_{2}) \not = 0$,
|
||||
akkor folytatjuk a keresést az $[x_{0},x_{2}]$ vagy $[x_{2},x_{1}]$ intervallumban. Ha $f(x_{0})f(x_{2}) < 0$, akkor
|
||||
$[x_{0},x_{2}]$ intervallumban folytatjuk, ha $f(x_{2}) f(x_{1}) < 0$, akkor $[x_{2}, x_{1}]$ intervallumban. Stb.
|
||||
|
||||
Általánosan: Legyen $x_{0} := a, x_{1} := b$ és $f(a)f(b) < 0$. Az $(x_{k},f(x_{k}))$ és $(x_{s},f(x_{s}))$
|
||||
pontokon átmenő egyenesekkel közelítjük a függvényt ahol $x_{s}$-re $f(x_{s})f(x_{k})<0$ és $s$ a legnagyobb ilyen index.
|
||||
$x_{k+1}$-et a következőképpen határozhatjuk meg:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x_{k+1} := x_{k} -
|
||||
\frac
|
||||
{f(x_{k})}
|
||||
{\frac{f(x_{k}) - f(x_{s})}{x_{k}-x_{s}}} =
|
||||
x_{k} -
|
||||
\frac
|
||||
{f(x_{k}) (x_{k} -x_{s}) }
|
||||
{f(x_{k}) - f(x_{s})}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Legyen $f \in C^{2}[a,b]$ és
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(a)f(b)<0$
|
||||
\item $M = \frac{M_{2}}{2m_{1}}$, ahol $0<m_{1} \leq |f'(x)|$ és $f''(x) \leq M_{2} (x \in (a,b))$
|
||||
\item $M(b-a) < 1$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent Ekkor a húrmódszer konvergens, hibabecslése pedig:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
|x_{k+1} - x^{*}| \leq \frac{1}{M}(M|x_{0}-x^{*}|)^{k+1}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Szelőmódszer}
|
||||
A szelőmódszer lényege, hogy az $(x_{k},f(x_{k}))$ és $(x_{k-1},f(x_{k-1}))$ pontokon átmenő egyenessel közelítjük
|
||||
$f$-et, a kapott egyenes $x$ tengellyel vett metszéspontja $(x_{k+1})$ lesz a következő pont. Ez
|
||||
tulajdonképpen a húrmódszer $s := k - 1$-re.
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x_{k+1} :=
|
||||
x_{k} -
|
||||
\frac
|
||||
{f(x_{k}) (x_{k} -x_{k-1}) }
|
||||
{f(x_{k}) - f(x_{k-1})}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha teljesülnek a Newton-módszer lokális konvergencia tételének feltételei, akkor a szelőmódszer
|
||||
konvergens $p = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ rendben ,és hibabecslése:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
|x_{k+1} - x^{*}| \leq M|x_{k}-x^{*}||x_{k-1}-x^{*}|
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Többváltozós Newton-módszer}
|
||||
|
||||
Most $F(x) = 0$ megoldásait keressük, ahol $F \in \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$. Tekintsük a többváltozós Newton-módszert:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)} := x^{(k)} - [F'(x^{(k)})]^{-1}F(x^{(k)})
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent ahol
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
F(x) = \begin{bmatrix}
|
||||
f_{1}(x) \\[0.3em]
|
||||
f_{2}(x) \\[0.3em]
|
||||
... \\[0.3em]
|
||||
f_{n}(x)
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
F'(x) = \begin{bmatrix}
|
||||
\partial_{1}f_{1}(x) & \partial_{2}f_{1}(x) & ... \\[0.3em]
|
||||
\partial_{1}f_{2}(x) & \partial_{2}f_{2}(x) & ... \\[0.3em]
|
||||
... & ... & ...
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Ténylegesen az $F'(x^{(k)}) (x^{(k+1)} - x^{(k)}) = -F(x^{(k)})$ egyenletrendszert oldjuk meg.
|
||||
|
||||
\section{Interpoláció}
|
||||
|
||||
A gyakorlatban sokszor felmerül olyan probléma, hogy egy többségében ismeretlen (csak néhány pontbeli érték ismert)
|
||||
vagy nagyon költségesen kiszámítható függvénnyel kellene egy megadott intervallumon dolgoznunk.
|
||||
Ekkor például azt tehetjük, hogy néhány pontban kiszámítjuk a függvény értékét,
|
||||
majd keresünk olyan egyszerűbben számítható függvényt, amelyik illeszkedik az
|
||||
adott pontokra. Ezután az intervallum bármely további pontjában az illesztett függvény értékeit használjuk, mint
|
||||
az eredeti függvény értékeinek a közelítéseit. Ilyen egyszerűbben kiszámolható függvények pl. a polinomok (polinom interpoláció).
|
||||
|
||||
Példa alkalmazásra: Animáció készítésénél nem szeretnénk minden egyes képkockát saját magunk elkészíteni, hanem csak bizonyos képkockákat,
|
||||
ún. kulcskockákat. A köztes képkockákon az egyes objektumok helyzetét szeretnénk a számítógéppel kiszámíttatni (például szeretnénk, hogy
|
||||
ha egy objektum egyenes vonalú, egyenletes mozgást végezne két adott pozíció között).
|
||||
|
||||
\subsection{Polinom interpoláció}
|
||||
|
||||
\subsubsection{A polinom interpoláció feladata}
|
||||
Legyenek adva $n \in \mathbb{N}$ és az $x_{k} \in \mathbb{R}, k=0,1,..,n$ különböző számok, az ún. interpolációs alappontok, valamint
|
||||
az $f(x_{k}),k=0,1,..,n$ számok, az ismert függvényértékek. Keressük azt a legfeljebb $n$-edfokú $p_{n}$ polinomot $(p_{n} \in P_{n})$,
|
||||
amelyre:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p_{n}(x_{k}) = f(x_{k}) \ \ k=0,1,...,n
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Azaz a keresett polinom az interpolációs alappontokban a megadott függvényértékeket veszi fel.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: A fenti interpolációs feladatnak egyértelműen létezik megoldása.\\
|
||||
|
||||
\subsubsection{Lagrange-interpoláció}
|
||||
Az interpolációs polinom kiszámolására explicit képletet ad a Lagrange-interpoláció.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Lagrange-alappolinomok}: Adott $n \in \mathbb{N}$ és $x_{k} \in \mathbb{R}, k=0,1,...,n$ különböző alappontokra
|
||||
a Lagrange-alappolinomokat a következőképpen definiáljuk:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
l_{k}(x) =
|
||||
\frac
|
||||
{\displaystyle\prod_{\substack{j=0\\j \not = k}}^{n}(x-x_{j})}
|
||||
{\displaystyle\prod_{\substack{j=0\\j \not = k}}^{n}(x_{k}-x_{j})}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent $k=0,1, ..., n$ esetén.\\
|
||||
|
||||
\noindent Az alappontok mind $n$-edfokú polinomok, és a következő tulajdonsággal rendelkeznek:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
l_{k}(x_{j})=\left\{\begin{array}{lr}
|
||||
1 & ha \ j=k \\
|
||||
0 & ha \ j \not = k
|
||||
\end{array}
|
||||
\right\}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Az interpolációs feladat megoldása az alábbi polinom, amelyet az interpolációs
|
||||
polinom Lagrange-alakjának hívunk:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
L_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n}f(x_{k})l_{k}(x)
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent A továbbiakban jelölje $[a,b]$ az $x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}$ alappontok által kifeszített intervallumot.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{A Lagrange-interpoláció hibája}: Ha $f \in C^{n+1}[a,b]$, akkor $\forall x \in [a,b]$ esetén
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
|f(x) - L_{n}(x)| \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|\omega_{n}(x)|
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent ahol $\omega_{n}(x) = \displaystyle\prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})$, valamint $M_{k} = \displaystyle\max_{[a,b]}|f^{(k)}(x)|$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Egyenletes konvergencia}: Legyen $f \in C^{\infty}[a,b]$ és legyen adva egy $[a,b]$ intervallumbeli
|
||||
alappontrendszerek sorozata: $x_{k}^{(n)}$, $k=0,1,...,n$, $n=0,1,2,...$. Legyen $L_{n}$ az $x_{0}^{(n)}, ... ,x_{n}^{(n)}$
|
||||
alappontrendszerre illesztett Lagrange-interpolációs polinom ($n=0,1,2,...$). Ekkor ha $\exists M>0$ úgy, hogy
|
||||
$M_{n} \leq M^{n} \ \forall n \in \mathbb{N}$, akkor az $L_{n}$ sorozat egyenletesen konvergál az $f$ függvényhez.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Marcinkiewicz tétele}: Minden $f \in C[a,b]$ esetén létezik a fenti módon definiált alappontrendszer
|
||||
úgy, hogy $\Vert f - L_{n}\Vert_{\infty} \to 0$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Faber tétele}: Minden a fenti módon definiált alappontrendszer esetén van olyan $f \in C[a,b]$ függvény,
|
||||
hogy $\Vert f - L_{n}\Vert_{\infty} \not \to 0$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Osztott differencia}: Legyenek adva az $x_{k} \in [a,b], k=0,1,...,n$ különböző alappontok.
|
||||
Az $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ függvénynek a megadott alappontrendszerre vonatkozó elsőrendű osztott differenciái
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
f[x_{i},x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1} - x_{i}}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent a magasabb rendű osztott differenciákat rekurzívan definiáljuk. Tegyük fel, hogy a $k-1$ rendű osztott differenciák
|
||||
már definiálva lettek, akkor a $k$-adrendű osztott differenciák az alábbiak:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
f[x_{i},x_{i+1},...,x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}, ..., x_{i+k}]-f[x_{i},x_{i+1}, ..., x_{i+k-1})]}{x_{i+k} - x_{i}}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Látható, hogy a $k$-adrenű osztott differencia $k+1$ alappontra támaszkodik.\\
|
||||
|
||||
Ha adott egy interpoláció alappontrendszer függvényértékekkel, akkor a hozzá tartozó osztott differenciákat az
|
||||
alábbi táblázat szerint érdemes elrendezni, és ez az elrendezés egyúttal a kiszámolást is segíti.
|
||||
|
||||
\begin{table}[H]
|
||||
\begin{tabular}{llllllll}
|
||||
$x_{0}$ & $f(x_{0})$ & & & & & & \\
|
||||
$x_{1}$ & $f(x_{1})$ & $f[x_{0},x_{1}]$ & & & & & \\
|
||||
$x_{2}$ & $f(x_{2})$ & $f[x_{1},x_{2}]$ & & & & & \\
|
||||
\rotatebox[origin=c]{90}{...} & \rotatebox[origin=c]{90}{...} & & & & & & \\
|
||||
$x_{k}$ & $f(x_{k})$ & $f[x_{k-1},x_{k}]$ & ... & $f[x_{0}, x_{1}, ..., x_{k}]$ & & & \\
|
||||
\rotatebox[origin=c]{90}{...} & \rotatebox[origin=c]{90}{...} & & & & & & \\
|
||||
$x_{n-1}$ & $f(x_{n-1})$ & $f[x_{n-2},x_{n-1}]$ & ... & $f[x_{n-1-k}, x_{n-k}, ..., x_{n-1}]$ & ... &
|
||||
$f[x_{0}, x_{1}, ..., x_{n-1}]$ & \\
|
||||
$x_{n} $ & $f(x_{n})$ & $f[x_{n-1},x_{n}]$ & ... & $f[x_{n-k}, x_{n-k+1}, ..., x_{n}]$ & ... &
|
||||
$f[x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}]$ & $f[x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}]$ \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Az interpolációs polinom Newton-alakja}: Az interpolációs polinom az alábbi alakban felírható:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
N_{n}(x) = f(x_{0}) + \displaystyle\sum_{k=1}^{n}f[x_{0},x_{1}, ..., x_{k}] \omega_{k-1}(x)
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent ahol $\omega_{j}(x) = (x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{j})$. Ezt az alakot az interpolációs polinom Newton-alakjának hívjuk.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Hermite-interpoláció}
|
||||
Az előbbi interpolációs feladatot a következőképpen általánosíthatjuk. Legyenek adva az egyes alappontokban a függvényértékek
|
||||
mellett a függvény derivált értékei is valamely rendig bezárólag. Ekkor olyan polinomot keresünk, amelyik deriváltjaival együtt
|
||||
illeszkedik a megadott értékekre, vagyis:\\
|
||||
|
||||
\noindent Legyenek adva $n,m_{0},m_{1},..., m_{n} \in \mathbb{N}$ és az $x_{j} \in \mathbb{R}, j=0,1,...,n$ interpolációs
|
||||
alappontok, valamint az $f^{(k)}(x_{j}) \ \ k=0,1,...,m_{j}-1, \ \ \ j=0,1,...,n$ függvény- és derivált értékek. Legyen
|
||||
$m = \displaystyle\sum_{j=0}^{n}m_{j}$ Keressük azt a legfeljebb ($m-1$)-edfokú $p_{m-1}$ polinomot, melyre:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
p^{(k)}_{m-1}(x_{j}) = f^{(k)}(x_{j}) \ \ k=0,1,...,m_{j}-1, \ \ \ j=0,1,...,n
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Megjegyzések}:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ha $m_{j}=2, j=0,1,...,n$, akkor a feladatot Hermite-Fejér-féle interpolációnak nevezzük. Ekkor minden alappontban
|
||||
a függvény- és az első derivált érték adott. A keresett polinom pedig legfeljebb ($2n+1$)-edfokú.
|
||||
|
||||
\item Ha $m_{j}=1, j=0,1,...,n$, akkor a Lagrange-interpolációt kapjuk vissza.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Osztott differencia ismétlődő allapontokra}: Ha $x_{k}$ $j$-szer szerepel:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
f[x_{k}, ... x_{k}] = \frac{f^{(j)}(x_{k})}{j!}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: A Hermite-féle interpolációs polinom egyértelműen létezik.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{A Hermite interpolációs polinom előállítása}: Könnyen felírható a Newton-féle formában. Csak annyit
|
||||
kell tennünk, hogy kiindulunk az alappontok és a függvényértékek táblázatával és legyártjuk az osztott differenciák
|
||||
táblázatát. Az az egyetlen különbség most, hogy az $x_{j}$ alappontot $m_{j}$-szer soroljuk fel.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Hermite-interpoláció hibája}: Ha $f \in C^{m}[a,b]$, akkor $\forall x \in [a,b]:$
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
|f(x) - H_{m-1}(x)| \leq \frac{M_{m}}{m!}|\Omega_{m}(x)|
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent ahol $\Omega_{m}(x) = (x-x_{0})^{m_{0}}(x-x_{1})^{m_{1}}...(x-x_{n})^{m_{n}}$
|
||||
|
||||
\section{Legkisebb négyzetek módszere}
|
||||
|
||||
Gyakorlati feladatok során adódik a következő probléma. Egy elsőfokú függvényt mérünk bizonyos pontokban, de
|
||||
a mérési hibák miatt ezek nem lesznek egye egyenesen. Ekkor olyan egyenest keresünk, amelyik az alábbi
|
||||
értelemben legjobban illeszkedik a megadott mérési ponthalmazra.
|
||||
|
||||
Legyenek adva az $(x_{i},y_{i}), i=1,2,..,m$ mérési pontok. Keressük azt a $p_{1}(x) = a + bx$ legfeljebb
|
||||
elsőfokú polinomot, amelyre a
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\displaystyle\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-p_{1}(x_{i}))^{2} =
|
||||
\displaystyle\sum_{i=1}^{m}(y_{i}- a - bx_{i})^{2}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent kifejezés minimális. Ez azt jelenti, hogy azt az egyenes keressük, amelyre a függvényértékek hibáinak
|
||||
négyzetösszege minimális.
|
||||
|
||||
Az általános feladat az alábbi.
|
||||
|
||||
Adottak az $m,n \in \mathbb{N}$, ahol $m >> n$ és $(x_{i},y_{i}), i= 1,2,...,m$ mérési pontok, ahol az $x_{i}$
|
||||
alappontok különbözők. Keressük azt a $p_{n}(x) = a_{0} + a_{1}x + ... a_{n}x^{n}$ legfeljebb $n$-edfokú
|
||||
polinomot, melyre a
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\displaystyle\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-p_{n}(x_{i}))^{2}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent kifejezés minimális.
|
||||
|
||||
A feladat megoldásához tekintsük annak egy átfogalmazását.
|
||||
|
||||
Vegyük a $p_{n}(x_{i}) = y_{i}, i=1,2,...,m)$ egyenletrendszert. Ez a rendszer az ismeretlen $a_{i}$ együtthatókra nézve
|
||||
lineáris, mégpedig túlhatározott, amelynek az $A$ mátrixa egy téglalap alakú Vandermonde-mátrix $A \in \mathbb{R}^{m \times (n+1)}$,
|
||||
a $b \in \mathbb{R}^{m}$ jobb oldali vektora pedig a függvényértékekből adódik:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ... & x_{1}^{n} \\[0.3em]
|
||||
1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ... & x_{2}^{n} \\[0.3em]
|
||||
1 & x_{3} & x_{3}^{2} & ... & x_{3}^{n} \\[0.3em]
|
||||
\rotatebox[origin=c]{90}{...} & \rotatebox[origin=c]{90}{...} & \rotatebox[origin=c]{90}{...} & \rotatebox[origin=c]{90}{...} & \rotatebox[origin=c]{90}{...} \\[0.3em]
|
||||
1 & x_{m} & x_{m}^{2} & ... & x_{m}^{n} \\[0.3em]
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
a_{0} \\[0.3em]
|
||||
a_{1} \\[0.3em]
|
||||
a_{2} \\[0.3em]
|
||||
\rotatebox[origin=c]{90}{...} \\[0.3em]
|
||||
a_{n}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
y_{0} \\[0.3em]
|
||||
y_{1} \\[0.3em]
|
||||
y_{2} \\[0.3em]
|
||||
\rotatebox[origin=c]{90}{...} \\[0.3em]
|
||||
y_{m}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
Ezen jelölésekkel a minimalizálandó kifejezés $\Vert Az - b \Vert_{2}^{2}$, ahol $z = [a_{0},a_{1}, ..., a_{n}]^{T}$
|
||||
a keresett együtthatók vektora. A feladat megoldását a Gauss-féle normálegyenletek adják:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
A^{T}Az = A^{T}b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent A fenti LER-t kell megoldani $z$-re.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{n=1 eset}: Ekkor a feladatot gyakran lineáris regressziónak is hívjuk. Ebben az esetben
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
A^{T}A = \begin{bmatrix}
|
||||
m & \sum_{i=1}^{m} x_{i} \\[0.3em]
|
||||
\sum_{i=1}^{m} x_{i} & \sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}
|
||||
\end{bmatrix} \ ,
|
||||
A^{T}b = \begin{bmatrix}
|
||||
\sum_{i=1}^{m} y_{i} \\[0.3em]
|
||||
\sum_{i=1}^{m} x_{i}y_ {i}
|
||||
\end{bmatrix} \ ,
|
||||
z= \begin{bmatrix}
|
||||
b \\[0.3em]
|
||||
a
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\section{Numerikus integrálás}
|
||||
|
||||
\includepdf[pages={2-8}]{Numerikus_Integralas.pdf}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,356 @@
|
||||
\documentclass[margin=0px]{article}
|
||||
|
||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage{graphicx}
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
\usepackage[a4paper, margin=0.7in]{geometry}
|
||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{fancyhdr}
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
|
||||
\onehalfspacing
|
||||
|
||||
\newenvironment{tetel}[1]{\paragraph{#1 \\}}{}
|
||||
|
||||
\pagestyle{fancy}
|
||||
\lhead{\it{PTI BSc Záróvizsga tételek}}
|
||||
\rhead{3.1. Lineáris egyenletrendszerek iterációs módszerei}
|
||||
|
||||
\title{\textbf{{\Large ELTE IK - Programtervező Informatikus BSc} \vspace{0.2cm} \\ {\huge Záróvizsga tételek}} \vspace{0.3cm} \\ 3.1. Lineáris egyenletrendszerek iterációs módszerei}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\subsection{Lineáris egyenletrendszerek iterációs módszerei}
|
||||
|
||||
A lineáris egyenletrendszert (LER) vektorsorozatokkal közelítjük, törekedve a minél gyorsabb konvergenciára.
|
||||
Az iterációs módszereknek a lényege az $Ax = b \Longleftrightarrow x = Bx + c$ átalakítás. Ilyen alak létezik,
|
||||
sőt nem egyértelmű, hanem sokféle lehet, és a különböző átalakítások szolgáltatják a különféle iterációs módszereket.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Definíció (kontrakció)}: Az $F: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ függvény kontrakció, ha
|
||||
$\exists 0 \leq q < 1 : \forall x,y \in \mathbb{R}^{n}:$
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\Vert F(x) - F(y) \Vert \leq q \Vert x - y \Vert
|
||||
\end{displaymath}.
|
||||
|
||||
\noindent A $q$ értéket kontrakciós együtthatónak nevezzük.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Banach-féle fixponttétel}: Legyen $F: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ kontrakció a q
|
||||
kontrakciós együtthatóval. Ekkor a következő állítások igazak:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\exists! x^{*} \in \mathbb{R}^{n}: x^{*} = f(x^{*})$. Azt mondjuk, hogy $x^{*}$ az $f$ függvény
|
||||
fixpontja.
|
||||
|
||||
\item $\forall x^{(0)} \in \mathbb{R}^{n}$ kezdőérték esetén az $x^{(k+1)} = f(x^{(k)})$ sorozat konvergens,
|
||||
és $\lim \limits_{k\to\infty} x^{(k)} = x^{*}$.
|
||||
|
||||
\item $\Vert x^{(k)} - x^{*}\Vert \leq \frac{q^{k}}{1-q} \Vert x^{(1)} - x^{0}\Vert$.
|
||||
|
||||
\item $\Vert x^{(k)} - x^{*}\Vert \leq q^{k} \Vert x^{(0)} - x^{*}\Vert$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Vegyük észre, hogy az $Ax = b \Longleftrightarrow x = Bx + c$ átírással megteremtettük a kapcsolatot a
|
||||
Banach-féle fixponttétellel, hisz most az $F(x) = Bx + c$ függvény fixpontját keressük. A fenti felírásban
|
||||
$B$-t átmenetmátrixnak nevezzük.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel (elégséges feltétel a konvergenciára)}: Ha a LER $B$ átmenetmátrixára $\Vert B \Vert < 1$,
|
||||
akkor tetszőleges $x^{(0)}$-ból indított $x^{(k+1)} := Bx^{(k)} + c$ iteráció konvergál az $Ax = b$ LER megoldásához.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel (Szükséges és elégséges feltétel a konvergenciára)}: Tetszőleges $x^{(0)}$-ból indított
|
||||
$x^{(k+1)} := Bx^{(k)} + c$ iteráció konvergál az $Ax = b$ LER megoldásához $\Longleftrightarrow$
|
||||
$\varrho(B) < 1$, ahol $\varrho(B) = \max_{1 \leq i \leq n} |\lambda_{i}(B)|$ a $B$ mátrix spektrálsugara.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Jacobi-iteráció}
|
||||
|
||||
Tekintsük az $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ mátrix $L + D + U$ felbontását, ahol $L$ a mátrix szigorú alsó része, $U$ a
|
||||
szigorú felső része, $D$ pedig a diagonális része. Ennek segítségével konstruáljuk meg a következő átírást:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
Ax = b \Longleftrightarrow (L + D + U)x = b \Longleftrightarrow Dx = -(L+U)x+b \Longleftrightarrow
|
||||
x = -D^{-1}(L+U)x + D^{-1}b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent A Jacobi-iteráció átmenetmátrixa tehát $B_{J} = -D^{-1}(L + U)$, maga az iteráció pedig:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)} := -D^{-1}(L + U)x^{(k)} + D^{-1}b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Koordinátás alakban felírva:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)}_{i} :=
|
||||
-\frac{1}{a_{ii}}
|
||||
\Bigg[
|
||||
\sum_{\substack{j=1\\ j \not = i}}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k)} - b_{i}
|
||||
\Bigg]
|
||||
\; (i = 1, ..., n)
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha az A mátrix szigorúan diagonálisan domináns a soraira, akkor
|
||||
$\Vert B_{J} \Vert_{\infty} < 1$ (azaz konvergens a módszer).\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha az A mátrix szigorúan diagonálisan domináns az oszlopaira, akkor
|
||||
$\Vert B_{J} \Vert_{1} < 1$ (azaz konvergens a módszer).
|
||||
|
||||
\subsubsection{Csillapított Jacobi-iteráció}
|
||||
|
||||
Továbbra is a Jacobi-iterációval foglalkozunk, csak egy plusz $\omega$ paraméter bevezetésével próbáljuk
|
||||
finomítani a módszert. Tekintsük a $Dx = -(L + U)x + b$ egyenletet, valamint a triviális $Dx =
|
||||
Dx$ egyenletet. Ezeket rendre szorozzuk meg $\omega$, illetve $1 - \omega$ értékekkel, majd adjuk össze a két
|
||||
egyenletet:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
Dx = (1 - \omega)Dx -\omega(L+U)x + \omega b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Szorozzunk $D^{-1}$-zel:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x = (1 - \omega)Ix -\omega D^{-1}(L+U)x + \omega D^{-1}b \Longleftrightarrow
|
||||
x = ((1 - \omega)I -\omega D^{-1}(L+U))x + \omega D^{-1}b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Ez alapján $B_{J(\omega)} = (1 - \omega)I -\omega D^{-1}(L+U)$ és $c_{J}(\omega) = \omega D^{-1}b$.\\
|
||||
|
||||
\noindent Észrevehető, hogy $\omega = 1$ esetén pont a Jacobi-iterációt kapjuk vissza.\\
|
||||
|
||||
\noindent Koordinátás alakban felírva:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)}_{i} =
|
||||
(1 - \omega)x^{(k)}_{i}
|
||||
-\frac{\omega}{a_{ii}}
|
||||
\Bigg[
|
||||
\sum_{\substack{j=1\\ j \not = i}}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k)} - b_{i}
|
||||
\Bigg]
|
||||
\; (i = 1, ..., n)
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha $J(1)$ konvergens, akkor $\omega \in (0,1)$-re $J(\omega)$ is az.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Gauss-Seidel iteráció}
|
||||
|
||||
\noindent Egy másik lehetséges iteráció konstruálásának az ötlete a következő:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
Ax = b \Longleftrightarrow (L + D + U)x = b \Longleftrightarrow (L+D)x = -Ux+b \Longleftrightarrow
|
||||
x = -(L+D)^{-1}Ux + (L+D)^{-1}b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Ez az ötlet szüli a Gauss-Seidel iterációt, vagyis:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)} := -(L+D)^{-1}Ux^{(k)} + (L+D)^{-1}b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
Az iteráció átmenetmátrixa tehát $B_{S} = -(L+D)^{-1}U$. A koordinátás alak felírásához kicsit átírjuk
|
||||
az iterációt:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
(L+D)x^{(k+1)} = -Ux^{(k)} + b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
Dx^{(k+1)} = -Lx^{(k+1)} - Ux^{(k)} + b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)} = -D^{-1} \big[Lx^{(k+1)} + Ux^{(k)} - b \big]
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)}_{i} =
|
||||
-\frac{1}{a_{ii}}
|
||||
\Bigg[
|
||||
\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k+1)} +
|
||||
\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k)} -
|
||||
b_{i}
|
||||
\Bigg]
|
||||
\; (i = 1, ..., n)
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Megjegyzés}: Az implementáció során elég egyetlen $x$ vektort eltárolni, és annak a komponenseit sorban felülírni, ugyanis
|
||||
láthatjuk, hogy az első $i-1$ komponenst már az "új", $x^{(k+1)}$ vektorból vesszük.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha $A$ szigorúan diagonálisan domináns
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item a soraira, akkor
|
||||
$\Vert B_{S} \Vert_{\infty} \leq \Vert B_{J} \Vert_{\infty} < 1$.
|
||||
|
||||
\item az oszlopaira, akkor
|
||||
$\Vert B_{S} \Vert_{1} \leq \Vert B_{J} \Vert_{1} < 1$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent Azaz a Gauss-Seidel is konvergens, és legalább olyan gyors, mint a Jacobi.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Relaxációs módszer}
|
||||
|
||||
A relaxációs módszer lényegében a csillapított Gauss-Seidel iterációt jelenti. Ennek megkonstruálásához
|
||||
tekintsük az $(L+D)x = -Ux + b$ és $Dx = Dx$ egyenleteket. Ezeket rendre szorozzuk meg $\omega$, illetve
|
||||
$1 - \omega$ értékekkel, majd adjuk össze a két egyenletet:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
(D+\omega L)x = (1 - \omega)Dx -\omega Ux + \omega b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x = (D+\omega L)^{-1}\big[(1 - \omega)D -\omega U \big]x + \omega (D+\omega L)^{-1}b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
Az iteráció tehát: $x^{(k+1)} = (D+\omega L)^{-1}\big[(1 - \omega)D -\omega U \big]x^{(k)} + \omega (D+\omega L)^{-1}b$, ahol
|
||||
az átmenetmátrix: $B_{S(\omega)}= (D+\omega L)^{-1}\big[(1 - \omega)D -\omega U \big]$. A koordinátás alak
|
||||
felírásához itt is átírjuk kicsit az iterációt:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
(D + \omega L)x^{(k+1)} = (1 - \omega)Dx^{(k)} -\omega Ux^{(k)} + \omega b
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
Dx^{(k+1)} = -\omega Lx^{(k+1)} -\omega Ux^{(k)} + \omega b + (1 - \omega)Dx^{(k)}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)} = -\omega D^{-1} \big[Lx^{(k+1)} + Ux^{(k)} - b \big] + (1 - \omega)x^{(k)}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)}_{i} =
|
||||
-\frac{\omega}{a_{ii}}
|
||||
\Bigg[
|
||||
\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k+1)} +
|
||||
\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k)} -
|
||||
b_{i}
|
||||
\Bigg] +
|
||||
(1 - \omega) x_{i}^{(k)}
|
||||
\; (i = 1, ..., n)
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Vegyük észre, hogy $\omega = 1$ esetén a Gauss-Seidel iterációt kapjuk.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha a relaxációs módszer konvergens minden kezdővektorból indítva, akkor $\omega \in (0,2)$.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Megjegyzés}: Ha $\omega \notin (0,2)$, akkor általában nem konvergens a módszer (bár adott feladat esetén előfordulhat,
|
||||
hogy találunk olyan kezdővektort, amelyből indítva konvergál a módszer).\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha $A$ szimmetrikus és pozitív definit és $\omega \in (0, 2)$, akkor a relaxációs módszer konvergens. Ennek
|
||||
következménye a Gauss-Seidel iteráció konvergenciája ($\omega = 1$ eset).\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha $A$ tridiagonális, akkor $\varrho(B_{S}) = \varrho(B_{J})^{2}$, azaz a Jacobi és Gauss-Seidel iteráció
|
||||
egyszerre konvergens, illetve divergens.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha $A$ szimmetrikus, pozitív definit és tridiagonális, akkor a $J(1)$, $S(1)$ és $S(\omega)$ $\omega \in (0, 2)$-
|
||||
re konvergens, és $S(\omega)$-ra az optimális paraméter értéke:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\omega_{0} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \varrho(B_{J})^{2}}}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Richardson-iteráció}
|
||||
|
||||
Legyen $p \in \mathbb{R}$. Így
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
Ax = b \Longleftrightarrow
|
||||
0 = -Ax + b \Longleftrightarrow
|
||||
0 = -pAx + pb \Longleftrightarrow
|
||||
x = (I-pA)x +pb
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
Az iteráció tehát $x^{(k+1)} := (I-pA)x^{(k)} +pb$. Az átmenetmátrix: $B_{R(p)} = I-pA)$. Az
|
||||
$r^{(k)} := b - Ax^{(k)} $ vektort maradékvektornak (reziduumvektornak) nevezzük, hiszen
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)} = x^{(k)} - pAx^{(k)} + pb = x^{(k)} + pr^{(k)}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
r^{(k+1)} = b - Ax^{(k+1)} = b - A(x^{(k)} + pr^{(k)}) = r^{(k)} - pAr^{(k)}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent Tekintsük az előállítás algoritmusát: $r^{(0)} := b - Ax^{(0)}$, továbbá a fentiek miatt:
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
x^{(k+1)} := x^{(k)} + pr^{(k)}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
r^{(k+1)} := r^{(k)} - pAr^{(k)}
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Tétel}: Ha $A$ szimmetrikus, pozitív definit, a sajátértékei pedig a következők:
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
0 < m := \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} =: M
|
||||
\end{displaymath}
|
||||
|
||||
\noindent akkor $p \in (0,\frac{2}{M})$ esetén $R(p)$ konvergens, és az optimális paraméter: $p_{0} = \frac{2}{m + M}$.
|
||||
Továbbá igaz, hogy: $\varrho(B_{R(p_{0})}) = \frac{M - m}{M + m}$.
|
||||
|
||||
\subsection{Spline-interpoláció}
|
||||
|
||||
Az eddig említett interpolációs módszerekben polinomokkal dolgoztunk. Lehetőség van arra is, hogy a megadott pontrendszerre más
|
||||
típusú függvényt próbáljunk illeszteni. Igen előnyös tulajdonságokkal rendelkeznek a bizonyos folytonossági előírásoknak is
|
||||
megfelelő, szakaszonként polinom függvények, a spline-ok.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{$l$-edfokú spline}: Legyen adott $\Omega_{n} = \left\{x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}\right\}$ az $[a,b]$ intervallum egy
|
||||
felosztása, ahol $x_{0}=a, x_{n}=b$ és $l \in \mathbb{N}$. Az $s:[a,b] \to \mathbb{R}$ függvény egy $l$-edfokú spline az
|
||||
$\Omega_{n}$-re vonatkozóan, ha:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $s_{|[x_{k-1},x_{k}]}$ egy $l$-edfokú polinom $\forall k = 1,..,n$
|
||||
|
||||
\item $s \in C^{l-1}[a,b]$, tehát a teljes intervallumon $(l-1)$-szer folytonosan derviálható
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent Jelölés: $s_{l}(\Omega_{n})$ az $\Omega_{n}$-hez tartozó $l$-edfokú spline-ok halmaza.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Spline-interpoláció}: Legyenek adottak $x_{k},f(x_{k})$ értékek $k=0,1,..,n$-re és $l \in \mathbb{N}$.
|
||||
Keressük azt az $s \in s_{l}(\Omega_{n})$ spline-t, amelyre $s(x_{k}) = f(x_{k})$. Ehhez elő kell állítanunk minden
|
||||
intervallumra egy $l$-edfokú polinomot. Ha a polinomokat az együtthatóikkal reprezentáljuk, akkor ez $n(l+1)$ ismeretlen.
|
||||
Az előírt feltételek száma: $2n$ interpolációs és $(l-1)(n-1)$ folytonossági feltétel, hiszen csak a belső pontokban kell
|
||||
előírni az illető deriváltakra vonatkozó megfelelő folytonossági feltételt. Az így kapott összes feltétel darabszáma
|
||||
$(l+1)n - (l-1)$, tehát az egyértelműséghez $l-1$ feltétel hiányzik még. Ezeket úgynevezett peremfeltételekkel adjuk meg.
|
||||
Pl. a harmadfokú spline-interpolációhoz 2 peremfeltétel szükséges. Ezek a következők (ezek közül elég egyet választani,
|
||||
mert mindegyik 2 feltételt tartalmaz):
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Természetes peremfeltétel: $s''(a) = s''(b) = 0$.
|
||||
|
||||
\item Hermite-féle peremfeltétel: $s'(a) = s_{a}, s'(b) = s_{b}$, ahol $s_{a}, s_{b}$ előre megadott számok.
|
||||
|
||||
\item Periodikus peremfeltétel (ekkor feltételezzük, hogy $s(a) = s(b)$ is teljesül):
|
||||
$s'(a) = s'(b)$ és $s''(a) = s''(b)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Elsőfokú spline előállítása}: Az elsőfokú spline előállítása triviális szakaszonkénti
|
||||
lineáris Lagrange-interpolációval.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Másodfokú spline előállítása}: Egyetlen peremfeltétel szükséges, legyen a következő: $s'(a) = s_{a}$
|
||||
valamilyen $s_{a}$ számra. Az $[x_{0},x_{1}]$ szakaszon Hermite-interpolációval előállítjuk azt a $H_{2}$ másodfokú
|
||||
polinomot, amely megfelel az interpolációs feltételeknek és a peremfeltételnek. Az így kapott polinom $x_{1}$-beli
|
||||
deriváltja meghatározott, tehát a folytonos deriválhatóság miatt az $[x_{1},x_{2}]$ szakaszon a bal végpontban
|
||||
adott a derivált értéke. Ismét Hermite-interpolációt alkalmazva megkapjuk az $[x_{1},x_{2}]$ szakaszhoz tartozó
|
||||
polinomot. Ezt az eljárást ismételve állíthatjuk elő a másodfokú interpolációs spline-t.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Függvény tartója}: A $supp(f) := \overline{\left\{x \in \mathbb{R}: f(x) \not = 0 \right\}}$ halmazt
|
||||
az $f$ függvény tartójának nevezzük.\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Számegyenes felosztása}: $\Omega_{\infty} := \left\{...,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},...x_{n},x_{n+1},...\right\}$\\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{B-spline}: A $B_{l,k}, k \in \mathbb{Z}$ $l$-edfokú spline függvények rendszerét B-spline függvényeknek
|
||||
nevezzük, ha az alábbi feltételek teljesülnek:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $supp(B_{l,k}) = [x_{k},x_{k+l+1}]$, azaz a tartója minimális
|
||||
|
||||
\item $B_{l,k}(x) \geq 0$
|
||||
|
||||
\item $\displaystyle\sum_{k \in \mathbb{Z}}B_{l,k}(x) = 1$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
BIN
3. Numerikus módszerek/Numerikus_Integralas.pdf
Normal file
BIN
3. Numerikus módszerek/Numerikus_Integralas.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
3. Numerikus módszerek/img/newton_pelda.png
Normal file
BIN
3. Numerikus módszerek/img/newton_pelda.png
Normal file
Binary file not shown.
After Width: | Height: | Size: 12 KiB |
Reference in New Issue
Block a user