\documentclass[margin=0px]{article}

\usepackage{listings}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage[a4paper, margin=1in]{geometry}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\renewcommand{\figurename}{ábra}
\newenvironment{tetel}[1]{\paragraph{#1 \\}}{}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

% A dokument itt kezdődik

\title{Záróvizsga tételsor \\ \large 2. Differenciál- és integrálszámítás}
\date{}
\author{Dobreff András}

\begin{document}
	\maketitle
	
	\begin{tetel}{Differenciál- és integrálszámítás}
			Jacobi-mátrix, gradiens, parciális derivált. Szélsőérték, függvényvizsgálat. Riemann-integrál, parciális integrálás, integrálás helyettesítéssel. Newton-Leibniz-formula. A kezdeti érték probléma. Lineáris, ill. magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek.
	\end{tetel}
	
	\section{Jacobi-mátrix, gradiens, parciális derivált}
		\subsection{Jacobi-mátrix, gradiens}
			\begin{description}
				\item[Differenciálhatóság] \hfill \\
					$ 1 \leq n, m \in \mathbb{N}, \quad 1 \leq p,q \leq +\infty,$
					
					$ (\R^n, \lVert . \rVert_p)$ és $ (\R^m, \lVert . \rVert_q)$ normált terek 
					
					$ f \in \R^n \rightarrow \R^m, \ a \in intD_f $
					
					Az $f$ függvény differenciálható az $a$ pontban ($ f \in D\{a\}$) , ha\\
					létezik olyan $ L \in L(\R^n, \R^m)$ korlátos lineáris leképezés és olyan $ \eta \in \R^n \rightarrow \R^m $ függvény, hogy :
					\begin{align*}
						f(a+h)-f(a) = L(h)+\eta(h)\cdot \lVert h\rVert_p \quad ( h \in \R^n, a+h \in D_f)
					\end{align*}
					ahol
					\begin{align*}
						\eta(h) \longrightarrow 0 \quad (\lVert h\rVert_p \rightarrow 0)
					\end{align*}
					
					Más szóval: 
					
					\[ \dfrac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\lVert h\rVert_p} \longrightarrow 0 \quad (\lVert h\rVert_p \rightarrow 0)\]
					\\\\
					Amennyiben $\forall a\in intD_f : f \in D\{a\} $, akkor az $f$ differenciálható ($f \in D$)
					\\\\
					\textit{
					Megjegyzés:\\
					A $ \mathbb{K}$ test feletti $ (X, \lVert.\rVert_\bigstar )$,  $ (X, \lVert.\rVert_\heartsuit )$ normált terek közötti folytonos leképezés, korlátos lineáris leképezés, ha
					\begin{itemize}
						\item lineáris, azaz
							\begin{align*}
								f(x+\lambda y) = f(x) + \lambda f(y) \quad (x,y \in X, \lambda \in \mathbb{K})
							\end{align*}
						\item korlátos, azaz
							\begin{align*}
								\exists M \geq 0 : \lVert f(x) \rVert_\heartsuit \leq M\lVert x \rVert_\bigstar \quad (x \in X)
							\end{align*}
					\end{itemize}
					}
				\item[Derivált] \hfill \\
					$f\in\R^n\rightarrow\R^m $ függvény differenciálható egy $a\in intD_f$ pontban \\
					$ \Rightarrow \exists! L\in L(\R^n,\R^m)$ korlátos lineáris leképezés
					
					Ezt az egyértelműen létező $L \in L(\R^n,\R^m) $ korlátos lineáris leképezést az $f$ függvény $a$ pontbeli deriváltjának nevezzük, és $f'(a)$ szimbólummal jelöljük.
				\item[Jacobi-mátrix] \hfill \\
					Az előzőekben szereplő $L := f'(a) $ korlátos lineáris leképezéshez $ \exists!A\in\R^{m\times n}$ mátrix, melyre:
					\begin{align*}
						L(x) = Ax \quad (x\in\R^n)
					\end{align*}
					Ezért:
					$ f'(a) := A $\\
					az $f$ függvény $a$-beli deriváltja vagy derivált mátrixa, más néven Jacobi-mátrixa.
				\item[Gradiens] \hfill \\
					$m = 1$ esetén : $ f \in \R^n \rightarrow \R $
					\begin{align*}
						\textrm{grad}f(a) := f'(a) \in \R^{1\times n} \approx \R^n
					\end{align*}
					Tehát ebben az esetben az $f'(a)$ Jacobi-mátrix tekinthető egy $\R^n$-beli vektornak, amit az $f$ függvény $a$-beli gradiensének nevezünk.
					\\\\
					Ha $ D := \{a \in D_f : f \in D\{a\} \} $, akkor az
					\begin{align*}
						x \mapsto \textrm{grad}f(x) \in \R^n \quad (x \in D)
					\end{align*}
					függvényt az $f$ függvény gradiensének nevezzük, és grad$f \in \R^n \rightarrow \R^n$ jelöljük.
				\item[Gradiens mint Jacobi-mátrix sora] \hfill \\
					Legyen $1 \leq n, m \in \mathbb{N}$. Az $f = (f_1, ..., f_m) \in \R^n \rightarrow \R^m$ függvény akkor és csak akkor differenciálható az $ a \in intD_f$ helyen, ha minden $ i = 1, ..., m $ esetén az
					$f_i \in \R^n \rightarrow \R$  koordináta-függvény differenciálható az $a$-ban.
					
					Ha $f \in D\{a\}$, akkor az $f'(a)$ Jacobi-mátrix a következő alakú:
					\begin{align*}
						f'(a) = 
						\begin{bmatrix}
							\textrm{grad}f_{1}(a) \\
							\textrm{grad}f_{2}(a) \\
							\vdots \\
							\textrm{grad}f_{m}(a) \\
						\end{bmatrix}
					\end{align*}
			\end{description}
		\subsection{Parciális derivált}
			\begin{description}
				\item[Definíció] \hfill \\
					Tekintsük a $ h \in \R^n \rightarrow \R $ függvényt és az $a = (a_1, ... , a_n) \in D_h $ vektort. Legyen
					\begin{align*}
						D_{h,i}^{(a)} := \{t \in \R : (a_1, ..., a_{i-1}, t, a_{i+1}, ..., a_n) \in D_h\} \quad (i = 1,...,n)
					\end{align*}
					És legyen:
					\begin{align*}
						h_{a,i} : D_{h,i}^{(a)} \rightarrow \R, \quad \textrm{ melyre: } \quad h_{a,i}(t) := h(a_1, ..., a_{i-1}, t, a_{i+1}, ..., a_n) \quad (t\in	D_{h,i}^{(a)} )
					\end{align*}
					A $h_{a,i}$ parciális függvények mind egyváltozós valós függvények ($h_{a,i} \in \R \rightarrow\R $)
					
					A $ h $ függvény az $a$-ban $i$-edig változó szerint parciálisan deriválható, ha $ h_{a,i} \in D\{a_i\} $. Ekkor: 
					\begin{align*}
						\partial_ih(a) := h'_{a,i}(a_i)
					\end{align*}
					valós számot a $h$ függvény $a$-beli, $i$-edik változó szerinti parcális deriváltjának nevezzük.
				\item[Parciális derivált függvény] \hfill \\
					Tegyük fel, hogy az előző $h$ függvényre:
					\begin{align*}
						D_{h,i} := \{a \in D_h : \textrm{létezik a } \partial_ih(a) \textrm{parciáis derivált}\} \neq \emptyset \qquad (i=1,...,n)
					\end{align*}
					Ekkor a 
					\begin{align*}
						 x \mapsto \partial_ih(x) \quad (x\in D_{h,i})
					\end{align*}
					függvényt a $h$ függvény $i$-edik változó szerinti parciális deriváltfüggvényének nevezzük, és a $\partial_ih$ szimbólummal jelöljük.
				\item[Differenciálhatóság és parciális differenciálhatóság] \hfill 
					\begin{itemize}
						\item Differenciálhatóság $\Rightarrow$ parciális differenciálhatóság \\
							$ 1 \leq n \in \mathbb{N}, \ h \in \R^n \rightarrow \R, $ és $h\in D\{a\} \ (a \in D_h) $ \\
							$\Rightarrow \forall i = 1,...,n$ : a $h$ függvény $i$-edik változó szerint parciálisan differenciálható az $a$ pontban, és
							\begin{align*}
								\textrm{grad}h(a) = (\partial_1h(a), ..., \partial_nh(a))
							\end{align*}
							
						\item Differenciálhatóság $\Leftarrow$ parciális differenciálhatóság \\
							$ 1 \leq n \in \mathbb{N}, \ h \in \R^n \rightarrow \R, $ és $ a \in intD_h $ \\
							Valamilyen $i = 1,...,n$ esetén:
							\begin{itemize}
								\item Tetszőleges $ x \in K_r(a) $ ($r > 0$ alkalmas) helyen léteznek a $ \partial_jh(x)$ parciális deriváltak $ (i \neq j = 1,...,n)$ és ezek folytonosak
								\item $\exists \ \partial_ih(a)$ parciális derivált
							\end{itemize}
							$\Rightarrow h\in D(a)$
					\end{itemize}
			\end{description}
	\section{Szélsőérték, függvényvizsgálat}
		\subsection{Szélsőérték}
			$ f \in \R \rightarrow \R, a \in D_f$
			\begin{description}		
				\item[Lokális maximum] \hfill \\
					$f$-nek $a$-ban lokális maximuma van, ha alkalmas $ r > 0$ mellett: \\
					$ f(x) \leq f(a) \qquad (x\in D_f, |x-a|<r)$
				\item[Lokális minimum] \hfill \\
					$f$-nek $a$-ban lokális minimuma van, ha alkalmas $ r > 0$ mellett: \\
					$ f(x) \geq f(a) \qquad (x\in D_f, |x-a|<r)$
				\item[Abszolút maximum] \hfill \\
					$f$-nek $a$-ban abszolút maximuma van, ha: \\
					$ f(x) \leq f(a) \qquad (x\in D_f)$
				\item[Abszolút mimimum] \hfill \\
					$f$-nek $a$-ban abszolút minumuma van, ha: \\
					$ f(x) \geq f(a) \qquad (x\in D_f)$				
				\item[Lokális szélsőérték] \hfill \\
					$f$-nek $a$-ban lokális szélsőértéke van, ha $a$-ban lokális minimuma vagy maximuma van.	
				\item[Abszolút szélsőérték] \hfill \\
					$f$-nek $a$-ban abszolút szélsőértéke van, ha $a$-ban abszolút minimuma vagy maximuma van.
				\item[Elsőrendű szükséges feltétel (lokális szélsőértékre)] \hfill \\
					$f \in \R \rightarrow \R$ függvénynek $ a \in intD_f $ helyen lokális szélsőértéke van, és $ f \in D\{a\}$ \\
					$ \Rightarrow f'\{a\} = 0 $
			\end{description}
			Az előbbi tétel segítségével már nem nehéz belátni a differenciálható függvények vizsgálata szempontjából alapvető fontosságú ún. középérték-tételeket
			
			\begin{description}
				\item[Rolle-tétel] \hfill \\
					$ a,b \in \R \ (a<b), \ f:[a,b] \rightarrow \R, \ f\in C$, és \\
					$ \forall x\in (a,b) : f\in D\{x\} $ és $ f(a) = f(b) $ \\
					$ \Rightarrow \exists \ \xi \in (a,b) : f'(\xi) = 0 $
				\item[Lagrange-féle középértéktétel] \hfill \\
					$ a,b \in \R \ (a<b), \ f:[a,b] \rightarrow \R, \ f\in C$, és \\
					$ \forall x\in (a,b) : f\in D\{x\} $ \\
					$ \Rightarrow \exists \ \xi \in (a,b) : f'(\xi) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}  $
				\item[Cauchy-féle középértéktétel] \hfill \\
					$ a,b \in \R \ (a<b), \ f,g:[a,b] \rightarrow \R, \ f,g\in C$, és \\
					$ \forall x\in (a,b) : f,g\in D\{x\} $ \\
					$ \Rightarrow \exists \ \xi \in (a,b) :$ \\ 
					$ (f(b)-f(a))\cdot g'(\xi) = (g(b)-g(a)\cdot f'(\xi) $
			\end{description}
			\begin{description}
				\item[Jelváltás] \hfill \\
					$ f \in \R \rightarrow \R,\ a \in intD_f $ és $ f(a) = 0, \ ( K_r(a) \subset D_f, r > 0 ) $
					\begin{enumerate}
						\item $f$ függvénynek $ (-,+) $ jelváltása van, ha \\
						$ f(x) \leq 0 \leq f(t), \quad (x,t \in K_r(a), \ x<a<t) $ 
						\item $f$ függvénynek $ (+,-) $ jelváltása van, ha \\
						$ f(x) \geq 0 \geq f(t), \quad (x,t \in K_r(a), \ x<a<t) $ 
					\end{enumerate}
				\item[Elsőrendű elégséges feltétel] \hfill \\
					$ f \in \R \rightarrow \R, \ a \in intD_f $ és $ f\in D\{x\}, \ (x \in K_r(a) \subset D_f, r > 0 ) $ 
					\begin{enumerate}
						\item $f'$-nak az $a$-ban $(+,-)$ jelváltása van $\Rightarrow f$-nek $a$-ban lokális maximuma van. 
						\item $f'$-nak az $a$-ban $(-,+)$ jelváltása van $\Rightarrow f$-nek $a$-ban lokális minimuma van.
					\end{enumerate}
			\end{description}
		\subsection{Monotonitás}
			$ f\in \R \rightarrow \R $
			\begin{description}
				\item[Monoton növekedés] \hfill \\
					$ f $ monoton növő ($\nearrow$), ha $\forall x,t \in D_f, \ x < t : f(x) \leq f(t) $. \\
					Amennyiben $  f(x) < f(t) $, akkor $f$ szigorúan monoton növő ($\uparrow$).
				\item[Monoton fogyás (csökkenés)] \hfill \\
					$ f $ monoton fogyó ($\searrow$), ha $\forall x,t \in D_f, \ x < t : f(x) \geq f(t) $. \\
					Amennyiben $  f(x) > f(t) $, akkor $f$ szigorúan monoton fogyó ($\downarrow$).
				\item[Derivált és monotonitás kapcsolata] \hfill \\
					$ I \subset \R $ nyílt intervallum, $ f:I\rightarrow \R, \ f \in D$\\
					$\Rightarrow$
					\begin{enumerate}
						\item $ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ f' \geq 0$
						\item $ f \searrow \ \Leftrightarrow \ f' \leq 0$
						\item $ f \ konstans \ \Leftrightarrow \ \forall x \in I : f'(x) = 0$
						\item $ \forall x \in I : f'(x) > 0 \ \Rightarrow  \ f \uparrow $
						\item $ \forall x \in I : f'(x) < 0 \ \Rightarrow  \ f \downarrow $
					\end{enumerate}
			\end{description}
		\subsection{Alaki viszonyok}
		\begin{description}
			\item[Konvexitás, konkávitás] \hfill \\
			$ I \subset \R $ intervallum, $ f:I\rightarrow \R $
			\begin{itemize}
				\item $f$ konvex, ha \\
					$\forall a,b \in I \quad \forall 0\leq \lambda \leq 1: f(\lambda a+(1-\lambda)b) \leq  \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b)$
				\item $f$ konkáv, ha \\
				$\forall a,b \in I \quad \forall 0\leq \lambda \leq 1: f(\lambda a+(1-\lambda)b) \geq  \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b)$
			\end{itemize}
			\begin{figure}[H]
				\centering
				\includegraphics[width=0.6\textwidth]{img/konvex.png}
				\caption{Konvex függvény}
			\end{figure}
			\item[Konvexitás és derivált] \hfill \\
				$ I \subset \R $ nyílt intervallum, $f:I\rightarrow \R, \ f \in D $
				\begin{itemize}
					\item $f$ konvex $ \Leftrightarrow f' \nearrow $ 
					\item $f$ konkáv $ \Leftrightarrow f' \searrow $ 
				\end{itemize}
			\item[Inflexió] \hfill \\
				$ f \in \R \rightarrow \R, \ a \in intD_f, \ f \in D\{a\} $:
				\begin{description}
					\item[Pontbeli érintő] \hfill \\
						$ e_a(x) := f(a) + f'(a)(x-a) \quad (x\in\R)$
 					\item[Inflexió] \hfill \\
	 					$ f$-nek az $a$-ban inflexiója van, ha az $f - e_a(f) $ az $a$-ban jelet vált. 
				\end{description}
				\begin{figure}[H]
					\begin{subfigure}{.33\textwidth}
						\centering
						\includegraphics[width=0.7\textwidth]{img/inflexio_x3.png}
						\caption{$x^3$ függvény inflexiója}
					\end{subfigure}
					\begin{subfigure}{.33\textwidth}
						\centering
						\includegraphics[width=0.7\textwidth]{img/inflexio_sin.png}
						\caption{szinusz függvény inflexiója}
					\end{subfigure}
					\begin{subfigure}{.33\textwidth}
						\centering
						\includegraphics[width=0.7\textwidth]{img/inflexio_x2.png}
						\caption{$x^2$-nek nincs inflexiója}
					\end{subfigure}
				\end{figure}
		\end{description}
		\subsection{Többször differenciálható függvények}
		\begin{description}
			\item[Második derivált] \hfill \\
				$ f \in \R \rightarrow \R, \ a \in intD_f, $ és \\ 
				$ f \in D\{x\} \quad (x \in K_r(a), r>0)$, illetve $f' \in D\{a\}$ \\
				Ekkor $f$ az $a$-ban kétszer deriválható és $f''(a) := (f')'(a) $ az $f$ második deriváltja.
			\item[Differenciálás magasabb rendben] \hfill \\
				Hasonlóképpen az előzőhöz:\\
				$ f \in \R \rightarrow \R, \ a \in intD_f, $ és \\ 
				$ f \in D^n\{x\} \quad (x \in K_r(a), r>0)$, illetve $f^{(n)} \in D\{a\}, \ (1 \leq n \in \mathbb{N})$ \\
				Ekkor $f$ az $a$-ban $(n+1)$-szer deriválható és $f^{(n+1)}(a) := (f^{(n)})'(a) $ az $f \ (n+1)$-edik deriváltja.
			\item[Másodrendű elégséges feltétel (lokális szélsőérték létezésére)] \hfill \\
				$ f \in D^2\{a\}$ függvényre $f'(a) = 0$ és $f''(a) \neq 0 $ \\
				$ \Rightarrow f$-nek az $a$-ban szigorú lokális szélsőértéke van. \\
				Ha $f''(a) < 0 \Rightarrow $ szigorú lokális maximum. \\
				Ha $f''(a) > 0 \Rightarrow $ szigorú lokális minimum.
		\end{description}
	\section{Riemann-integrál, parciális integrálás, integrálás helyettesítéssel.}
		\begin{description}
			\item[Primitív függvény] \hfill \\ 
				$ I \subset \R $ nyílt intervallum, $ f \in I \rightarrow \R $ \\
				Ha $ \exists  F:I\rightarrow\R $, hogy  $ F \in D $, $F' = f$ \\
				akkor $ F $ az $ f $ primitív függvénye.
			
			\item[Határozatlan integrál] \hfill \\
				Legyen $ \int{f} := \int f(x)dx :=  \{F:I \rightarrow \R, F \in D $ 
				és $ F' = f  \} $ az f határozatlan integrálja.
				
			\item[Határozott integrál (Riemann-integrál)] \hfill \\
				$ -\infty < a < b < \infty$
				$, f:[a,b] \rightarrow \R, f $ korlátos
				\begin{itemize}
					\item
					A $ \tau \subset [a,b] $ felosztása, ha $ \tau $ véges és $ a,b \in \tau $ \\
					Ekkor $ \tau = \{x_0, x_1, ..., x_n \} (n \in \mathbb{N}) $, ahol 
					$ a := x_0 < x_1 < ... < x_n := b$ 
					\item 
					$ m_i := m_i(f) := inf\{f(x): x_i \leq x \leq x_{i+1} \} (i = 0..n-1)$, illetve \\
					$ M_i := M_i(f) := sup\{f(x): x_i \leq x \leq x_{i+1} \} (i = 0..n-1)$
					
					és:
					
					$ s(f, \tau) := \sum\limits_{i=0}^{n-1} m_i(x_{i+1} - x_i) $ - alsó összeg \\
					$ S(f, \tau) := \sum\limits_{i=0}^{n-1} M_i(x_{i+1} - x_i) $ - felső összeg
					
					\item 
					$ \mathfrak{F} := \{ \tau \subset [a,b] $ felosztás $\}$
					\item
					Az $ \{ s(f, \tau): \tau \in \mathfrak{F} \} $ felülről korlátos és $ \forall \mu \in \mathfrak{F} : S(f, \mu) $ felső korlát, illetve \\
					Az $ \{ S(f, \tau): \tau \in \mathfrak{F} \} $ alulról korlátos és $ \forall \mu \in \mathfrak{F} : s(f, \mu) $ alsó korlát
					\item 
					Tehát legyen: \\ $ I_*(f) := sup\{ s(f,\tau) : \tau \in \mathfrak{F} \}$ - Darboux alsó index, és \\
					$ I^*(f) := inf\{ S(f,\tau) : \tau \in \mathfrak{F} \}$ - Darboux felső index
				\end{itemize}
				
				$ \Rightarrow \forall \tau,\mu \in \mathfrak{F} : s(f, \tau) \leq I_*(f) \leq I^*(f) \leq S(f,\mu) $
				
				Az $ f $ függvény Riemann-integrálható ($ f \in R[a,b] $), ha $ I_*(f) = I^*(f) $, ekkor legyen \\
				$ \int_{a}^{b}f := \int_{[a,b]}f := \int_{a}^{b}f(x) dx := I_*(f) = I^*(f) $ az $f$ függvény Riemann-integrálja (határozott integrálja).
				
				\item[Parciális integrálás] \hfill
					\begin{itemize}
						\item Határozatlan esetben \hfill \\
							$ I \subset \R $ nyílt intervallum, $ f,g : I \rightarrow \R $, $f,g \in D$ és \\
							$ fg'$-nek van primitív függvénye (azaz $ \int fg' \neq \emptyset $)\\
							$ \Rightarrow \int f'g \neq \emptyset $ és $ \int f'g = fg - \int fg' $
						\item Határozott esetben \hfill \\
							$ f,g \in D[a,b] \\ f'g, f g' \in R[a,b] $ \\
							$ \Rightarrow \int_a^b f'g = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_a^b fg'$
					\end{itemize}

				\item[Integrálás helyettesítéssel] \hfill 
					\begin{itemize}
						\item Határozatlan esetben \hfill \\
							$ I,J \subset \R $ nyílt intervallumok, $g: I \rightarrow J,  g \in D, f:J \rightarrow \R, \int f \neq \emptyset $ \\
							$\Rightarrow \int f \circ g\cdot g' \neq \emptyset $ és $ (\int f) \circ g = \int(f\circ g\cdot g') $
						\item Határozott esetben \hfill \\
							$ f \in C[a,b], g : [\alpha,\beta] \rightarrow [a,b], g \in C^1[\alpha,\beta],$\\
							$g(\alpha) = a, g(\beta) = b $ \\
							$ \Rightarrow \int_a^b f = \int_{\alpha}^{\beta} (f\circ g \cdot g')$
					\end{itemize}
		\end{description}
	\section{Newton-Leibniz-formula}
		
		$ f \in R[a,b], \exists F:[a,b] \rightarrow \R, F $ folytonos és $ F \in D\{x\}, F'(x) = f(x), (a < x < b) $ \\
		$ \Rightarrow \int_a^b f = F(b) - F(a) $
	\section{A kezdeti érték probléma}
		\begin{description}
			\item[Differenciál egyenlet] \hfill \\
				$ 0 < n \in \mathbb{N}, \ I \subset \R$ nyílt intervallum, \\
				$ \Omega := I_1 \times ... \times I_n \subset \R^n$, ahol $ I_1,...,I_n \subset \R$ nyílt intervallum \\
				$f:I\times\Omega \rightarrow \R^n, \ f \in C $
				
				Határozzuk meg a $ \varphi \in I \rightarrow \Omega$ függvényt úgy, hogy:
				\begin{itemize}
					\item $ D_{\varphi} $ nyílt intervallum
					\item $ \varphi \in D $
					\item $ \varphi'(x) = f(x, \varphi(x)) \quad (x \in D_{\varphi}) $
				\end{itemize}
				
				Ezt a feladatot nevezzük differenciál egyenletnek.
			\item[Kezdeti érték probléma] \hfill \\
				Ha az előzőekhez még adottak: $ \tau \in I$, és $ \xi \in \Omega$ \\
				Illetve a $\varphi$ függvényre még teljesül:
				\begin{itemize}
					\item $\tau \in D_{\varphi}$ és $ \varphi(\tau) = \xi $
				\end{itemize}
				
				Akkor kezdeti érték problémának (Cauchy feladatnak) nevezzük.
		\end{description}
	\section{Lineáris, ill. magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek}
		\subsection{Lineáris differenciálegyenletek}
			\begin{description}
				\item[Definíció] \hfill \\
				A lineáris differenciálegyenlet olyan differenciálegyenlet, melyre:\\
					$ n=1, \quad I,I_1 \subset \R $ nyílt intervallumok, $f:I\times I_1 \rightarrow \R$, ahol \\
					$g,h : I \rightarrow \R, \ g,h \in C, \ I_1 := \R$ és \\
					$f(x,y) := g(x)\cdot y + h(x) \quad (x \in I, y \in I_1 = \R) $\\
					$ \Rightarrow \varphi'(x) = f(x, \varphi(x)) = g(x) \cdot \varphi(x) + h(x) \quad (x \in D_{\varphi})$
				\item[Homogenitás] \hfill \\
					A lineáris differenciálegyenlet homogén ha $ h \equiv 0$ (különben inhomogén)
				\item[Kezdeti érték probléma] \hfill
				\begin{itemize}
					\item Minden lineáris differenciálegyenletre vonatkozó kezdeti érték probléma megoldható és \\ 
					$\forall \varphi, \psi $ megoldásokra: $ \varphi(t) = \psi(t) \quad (t \in D_{\varphi} \cap D_{\psi} )$
					\item Minden homogén lineáris differenciálegyenlet ($\varphi : I \rightarrow \R$) megoldása a következő alakú: \\
					$ c\varphi_0$, ahol \\
					 $c \in \R$ és $\varphi_0(t) = e^{G(t)} \quad (G:I\rightarrow\R, \ G \in D, $ és $ G' = g)$
					\item Állandók variálásának módszere:\\
					$ \exists m:I\rightarrow\R, \ m \in D : m\cdot\varphi_0$ megoldása az (inhomogén) lineáris differenciálegyenletnek
					\item Partikuláris megoldás: \\
					$M := \{ \varphi : I \rightarrow \R : \varphi'(t) = g(t)\cdot\varphi(t) + h(t) \ (t \in I)\} $ \\
					$M_h := \{ \varphi : I \rightarrow \R : \varphi'(t) = g(t)\cdot\varphi(t) \ (t \in I)\} $\\
					$\Rightarrow \forall \psi \in M : M = \psi + M_h = \{\varphi + \psi : \varphi \in M_h\}$\\
					(És itt $\psi$ az előzőek alapján $m\cdot\varphi_0$ alakban írható)
					\item Példa: Radioaktív bomlás: \\
					$ m_0 > 0$ - kezdeti anyagmennyiség \\
					$ m \in \R \rightarrow \R $ - tömeg-idő függvénye, ahol \\
					$m(t)$ - a meglévő anyag mennyisége \\
					$ m \in D \Rightarrow \dfrac{m(t) - m(t+\Delta t)}{\Delta t} \quad (\Delta t \neq 0) $ - átlagos bomlási sebesség \\
					$ \dfrac{m(t) - m(t+\Delta t)}{\Delta t} \xrightarrow[\Delta t \rightarrow 0]{} -m'(t) $, ami megfigyelés alapján $ \approx m(t)$ \\

					azaz: \\
					$ m'(t) = - \alpha \cdot m(t) \quad (t\in\R, 0 < \alpha \in \R)$\\
					$ m(0) = m_0 $ \\
					\rule{3cm}{0.2pt} \\
					Homogén lineáris differenciálegyenlet (kezdeti érték probléma): \\
					$ g \equiv -\alpha, \ \tau :=0, \ \xi := m_0 $ \\
					$ \Rightarrow G(t) = -\alpha t \quad (t\in\R) \Rightarrow \varphi_0(t) = e^{-\alpha t} \quad (t \in \R)$ \\
					$ \Rightarrow \exists c \in \R : m(t) = c\cdot e^{-\alpha t} \quad (t \in \R)$, ahol \\
					 $m(0) = c = m_0 \Longrightarrow m(t) = m_0e^{-\alpha t} \quad (t \in \R)$ \\
					 Ha $ T \in \R : m(T) = \dfrac{m_0}{2} $ (felezési idő) \\
					 $\Rightarrow \dfrac{m_0}{2} = m_0e^{-\alpha T} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = e^{-\alpha T} \Rightarrow e^{\alpha T} = 2$ \\
					 $\Rightarrow T = \dfrac{ln(2)}{\alpha} $
					\end{itemize}
			\end{description}
		\subsection{Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek}
			\begin{description}
				\item[Definíció] \hfill \\
				$ 0 < n \in \mathbb{N}, I \subset \R$ nyílt, $ a_0, ... ,a_{n-1} :I \rightarrow \R$  folytonos és $ c: I \rightarrow \R$ folytonos. \\
				Keressünk olyan $ \varphi \in I \rightarrow \mathbb{K}$ függvényt, melyre: 
				\begin{itemize}
					\item $ \varphi \in D^n$
					\item $ D_{\varphi}$ nyílt intervallum 
					\item $ \varphi^{(n)}(x) + \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k(x) \cdot \varphi^{(k)}(x) = c(x) \quad (x \in D_{\varphi}) $
				\end{itemize}
				
				Ezt $n$-edrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. ($n=1$ esetben Lineáris diff. egyenlet). Ha még: \\
				$ \tau \in I, \ \xi_0, ... , \xi_{n-1} \in \mathbb{K}$ és 
				\begin{itemize}
					\item $ \tau \in D_{\varphi}$ és $ \varphi^{(k)}(\tau) = \xi_k \quad (k = 0...n-1) $
				\end{itemize}
				Akkor Kezdeti érték problémáról beszélünk.
				
				\item[Homogenitás] \hfill \\
					Amennyiben $c(x) = 0$ homogén $n$-edrendű lineáris differenciálegyenletről beszélünk. Tehát homogén és inhomogén egyenletek megoldásainak halmazai: \\
					$ M_h := \{\varphi : I \rightarrow \mathbb{K} : \varphi \in D^n, \ \varphi^{(n)} + \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\cdot\varphi^{(k)} = 0 \} $ \\
					$ M := \{\varphi : I \rightarrow \mathbb{K} : \varphi \in D^n, \ \varphi^{(n)} + \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\cdot\varphi^{(k)} = c \} $ \\
					(Itt $M_h \ n$-dimenziós lineáris tér, így valamilyen $ \varphi_1,...,\varphi_n \in M_h$ bázist, más néven alaprendszert alkot.)
				\item[Állandó együtthatós eset] \hfill \\
					Ebben az esetben $a_0,...,a_{n-1} \in \R$
					\begin{itemize}
						\item Karakterisztikus polinom szerepe \\
							Legyen $P(t) := t^n + \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kt^k \quad (t \in \mathbb{K})$ karakterisztikus polinom és \\
							$ \varphi_\lambda(x) := e^{\lambda x} \quad (x \in \R, \lambda \in \mathbb{K}) $ \\\\
							Ekkor: $ \varphi_\lambda \in M_h \Longleftrightarrow P(\lambda) = 0 $\\
							Sőt ha $ \lambda $ $r$-szeres gyöke $P$-nek, és \\
							$ \varphi_{\lambda,j}(x) := x^je^{\lambda x} \ (j = 0..r-1, x\in\R)$, akkor:
							$ \varphi_{\lambda,j} \in M_h \Longleftrightarrow \varphi_{\lambda, j}^{(n)}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\varphi_{\lambda, j}^{(k)} $ \\ 
							azaz $P(\lambda)^{(j)} = 0 \quad (j = 0..r-1)$
						\item Valós megoldások \\
							Legyen $ \lambda = u+iv \quad (u,v \in \R, v\neq0, i^2 = -1) $ \\
							$ \Rightarrow $ az $ x \mapsto x^je^{ux}cos(vx)$, és $x \mapsto x^je^{ux}sin(vx)$ függvények valós alaprendszert (bázist) alkotnak ($M_h$-ban)
					\end{itemize}
				\item[Példa: Rezgések] \hfill \\
					Írjuk le egy egyenes mentén, rögzített pont körül rezgőmozgást végző $m$ tömegű tömegpont mozgását, ha ismerjük a megfigyelés kezdetekor elfoglalt helyét és az akkori sebességét! \\
					$ \varphi \in \R \rightarrow \R, \varphi \in D^2$ : kitérés-idő függvény \\
					$ m > 0 $ : tömeg \\
					$ F \in \R \rightarrow \R $ : kitérítő erő \\
					$ \alpha > 0 $ : visszatérítő erő, mely arányos $ \varphi $-vel \\
					$ \beta \geq 0 $ : fékezőerő, mely arányos a sebességgel. \\
					$ \Longrightarrow $ (Newton-féle mozgástörvény alapján):\\
					$ m \cdot \varphi'' = F - \alpha\varphi-\beta\varphi'$\\
					$ \varphi(0) = s_0, \varphi'(0) = s'_0 $\\
					\rule{4cm}{0.2pt} \\
					Másodrendű lineáris differenciál egyenlet (kezdeti érték probléma)\\
					Standard alakba írva: $ \varphi'' + \dfrac{\beta}{m}\varphi' + \dfrac{\alpha}{m}\varphi = \dfrac{F}{m} $
					
					Tekintsük kényszerrezgésnek a periodikus külső kényszert, amikor: \\
					$ \dfrac{F(x)}{m} = Asin(\omega x )  \quad [A>0$ (amplitúdó), $ \omega > 0$ (kényszerfrekvencia)] \\ 
					Ekkor $ \omega_0 := \sqrt{\dfrac{\beta}{m}} $ - saját frekvencia\\
					és $\varphi''(x) + \omega_0^2\varphi(x) = Asin(\omega x) $ \\
					Melynek karakterisztikus polinomja : $ P(t) = t^2+\omega_0^2 \quad (t \in \R) $ \\
					Megoldásai: $ \lambda = \pm \ \omega_0i $ \\
					
					Korábban láttuk, hogy ha $ \lambda = u+iv$ akkor $ x \mapsto x^je^{ux}cos(vx)$, és $x \mapsto x^je^{ux}sin(vx)$ függvények valós alaprendszert (bázist) alkotnak ($M_h$-ban). Így $ \varphi(x) = c_1cos(\omega_0x) + c_2sin(\omega_0x) $ alakban írható mely fázisszög segítségével: $ d\cdot sin(\omega_0x+\delta) \quad (d = \sqrt{c_1^2+c_2^2}, \delta \in \R)$ alakra átírható. Így: \\
					$ M_h =  \{ d\cdot sin(\omega_0x+\delta)\}$
					
					Ekkor már könnyen megadhatunk egy partikuláris megoldást:
					\begin{itemize}
						\item $\omega \neq \omega_0$ esetén partikuláris megoldás: \\
							$ x \rightarrow q\cdot sin(\omega x) $\\
							És $ q = \dfrac{A}{\omega_0^2-\omega^2} $ kielégíti a $-q\omega^2sin(\omega x)+\omega_0^2q\cdot sin(\omega x) = Asin(\omega x) $ egyenletet.
							Tehát: \\
							$ \varphi(x) = d\cdot sin(\omega_0x + \delta)+\dfrac{A}{\omega_0^2-\omega^2}sin(\omega x) $ megoldás két harmonikus rezgés összege.
						\item $ \omega = \omega_0 $ (rezonancia) esetén partikuláris megoldás: \\
							$ x \rightarrow qx\cdot cos(\omega x) $\\
							És $ q = \dfrac{-A}{2\omega} $ kielégíti a $-2q\omega \cdot sin(\omega x)- q\omega^2x\cdot cos(\omega x) +\omega^2qx\cdot cos(\omega x) = Asin(\omega x) $ egyenletet.
							Tehát: \\
							$ \varphi(x) = d\cdot sin(\omega x + \delta)-\dfrac{A}{2\omega}x\cdot cos(\omega x) $ megoldás egy harmonikus és egy aperiodikus rezgés összege.\\
							(Ebben az esetben az idő (x) elteltével a $\varphi $ értéke nő. Bizonyos modellekben ez a "rendszer szétesését" idézi elő)
					\end{itemize}
			\end{description}
\end{document}