vcscsvcscs/elte-ik-pti-bsc-zarovizsga
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/TMD44/elte-ik-pti-bsc-zarovizsga.git synced 2025-08-12 13:59:07 +02:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
Files
49bffe0a9d457aa14b42e179356a4da2504560c3
elte-ik-pti-bsc-zarovizsga/Régebbi záróvizsga kidolgozások/2015 (Ancsin Ádám,Bálint Márton,Dobreff András,Fekete Dóra)/12.Logika és számításelmélet/tetel12.tex
TMD44 49bffe0a9d 2015 mappa átnevezése
2022-01-07 19:53:49 +01:00

1244 lines
74 KiB
TeX
Raw Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters

This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.

\documentclass[margin=0px]{article}
\usepackage{listings}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage[a4paper, margin=1in]{geometry}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\makeatletter
\renewcommand\paragraph{%
\@startsection{paragraph}{4}{0mm}%
{-\baselineskip}%
{.5\baselineskip}%
{\normalfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\renewcommand{\figurename}{ábra}
\newenvironment{tetel}[1]{\paragraph{#1}}{}
% A dokument itt kezdődik
\title{Záróvizsga tételsor \\ \large 12. Logika és számításelmélet}
\date{}
\author{Ancsin Ádám}
\begin{document}
\maketitle
\begin{tetel}{Logika és számításelmélet}
Ítéletkalkulus és elsőrendű predikátumkalkulus: szintaxis, szemantika, ekvivalens átalakítások, a szemantikus következmény fogalma, rezolúció. – A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis. A Turing-gép. Rekurzív és rekurzívan felsorolható nyelvek. Eldönthetetlen problémák. Nevezetes idő- és tárbonyolultsági osztályok: P, NP, PSPACE. NP-teljes problémák.
\end{tetel}
\section{Logika}
\subsection{Alapfogalmak}
A logika tárgya az emberi gondolkodási folyamat vizsgálata és
helyes gondolkodási formák keresése, illetve létrehozása.\\
\noindent Fogalmak:
\begin{enumerate}
\item \textbf{Állítás}: Olyan kijelentés, melynek logikai értéke (igaz
volta) eldönthető, tetszőleges kontextusban igaz vagy hamis. Azt mondjuk,
hogy egy állítás igaz, ha információtartalma megfelel a valóságnak (a tényeknek),
és hamis az ellenkező esetben.
A mindennapi beszédben használt kijelentő mondatok legtöbbször nem állítások, mivel
a mondat tartalmába a kontextus is beleszámít: időpont, környezet állapota, általános műveltség
bizonyos szintje, stb. (pl. nem állítás az, hogy "ma reggel 8-kor sütött a nap", de állítás pl. az, hogy
"minden páros szám osztható 2-vel").
\item \textbf{Igazságérték}: Az igazságértékek halmaza $\mathbb{L}=\left\{igaz,hamis\right\}$.
\item \textbf{Gondolkodási forma}: Gondolkodási forma alatt egy olyan $(F,A)$ párt értünk, ahol
$A$ állítás, $F=\left\{A_{1},A_{2},...,A_{n}\right\}$ pedig állítások egy halmaza.
A gondolkodásforma helyes, ha minden esetben, amikor $F$ minden állítása
igaz, akkor $A$ is igaz.
\end{enumerate}
\subsection{Ítéletkalkulus}
\subsubsection{Az ítéletlogika szintaxisa}
\paragraph{Az ítéletlogika ábécéje}
Az ítéletlogika ábécéje $V_{0}=V_{v} \cup \left\{(,)\right\} \cup \left\{\neg, \wedge, \vee, \supset\right\}$, ahol $V_{v}$ az
ítéletváltozók halmaza. Tehát $V_{0}$ az ítéletváltozókat, a zárójeleket, és a logikai műveletek jeleit tartalmazza.
\paragraph{Az ítéletlogika nyelve}
Az ítéletlogika nyelve ($\mathcal{L}_{0}$) ítéletlogikai formulákból áll, amelyek a következőképpen állnak elő:
\begin{enumerate}
\item Minden ítéletváltozó ítéletlogikai formula. Ezek az úgynevezett prímformulák (vagy atomi formulák).
\item Ha $A$ ítéletlogikai formula, akkor $\neg A$ is az.
\item Ha $A$ és $B$ ítéletlogikai formulák, akkor $(A \wedge B)$, $(A \vee B)$ és $(A \supset B)$ is
ítéletlogikai formulák.
\item Minden ítéletlogikai formula az 1-3. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Literál}: Ha $X$ ítéletváltozó, akkor az $X$ és $\neg X$ formulák literálok, amelyek alapja $X$.\\
\noindent \textbf{Közvetlen részformula}:
\begin{enumerate}
\item Prímformulának nincs közvetlen részformulája.
\item $\neg A$ közvetlen részformulája $A$.
\item $A \circ B$ ($\circ$ a $\wedge, \vee, \supset$ binér összekötőjelek egyike) közvetlen részformulái $A$ (bal oldali)
és $B$ (jobb oldali).
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Részformula}: Legyen $A \in \mathcal{L}_{0}$ egy ítéletlogikai formula. Ekkor $A$ részformuláinak
halmaza a legszűkebb olyan halmaz, melynek
\begin{enumerate}
\item eleme az $A$, és
\item ha a C formula eleme, akkor C közvetlen részformulái is elemei.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Szerkezeti fa}: Egy C formula szerkezeti fája egy olyan véges rendezett fa, melynek csúcsai formulák,
\begin{enumerate}
\item gyökere C,
\item a $\neg A$ csúcsának pontosan egy gyermeke van, az $A$,
\item a $A \circ B$ csúcsának pontosan két gyermeke van, rendre az $A$ és $B$ formulák,
\item levelei prímformulák.
\end{enumerate}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{img/szerkfa}
\caption{Példa szerkezeti fára.}
\label{fig:szerkfa}
\end{figure}
\noindent \textbf{Logikai összetettség}: Egy formula logikai összetettsége a benne található logikai összekötőjelek száma.\\
\noindent \textbf{Művelet hatásköre}: Egy művelet hatásköre a formula részformulái közül az
a legkisebb logikai összetettségű részformula, melyben az adott művelet előfordul.\\
\noindent \textbf{Fő logikai összekötőjel}: Egy formula fő logikai összekötőjele az az összekötőjel, amelynek
hatásköre maga a formula.\\
\noindent \textbf{Precedencia}: A logikai összekötőjelek precedenciája csökkenő sorrendben a következő: $\neg, \wedge, \vee, \supset$.\\
A definíciók alapján egyértelmű, hogy egy \textit{teljesen zárójelezett formulában} mi a logikai összekötőjelek hatásköre és mi a fő
logikai összekötőjel. Most megmutatjuk, hogy egy formulában milyen esetekben és mely részformulákat határoló zárójelek hagyhatóak el úgy, hogy a logikai összekötőjelek hatásköre ne változzon. A részformulák közül a prímformuláknak és a negációs formuláknak nincs külső zárójelpárja, ezért csak az $(A \circ B)$ alakú részformulákról kell eldöntenünk, hogy írható-e helyettük $A \circ B$. A zárójelek elhagyását
mindig a formula külső zárójelpárjának (ha van ilyen) elhagyásával kezdjük. Majd ha egy részformulában már megvizsgáltuk a külső zárójelelhagyás kérdését, utána ezen részformula közvetlen részformuláinak külső zárójeleivel foglalkozunk. Két eset lehetséges:
\begin{enumerate}
\item A részformula egy negációs formula, melyben az $(A \circ B)$ alakú közvetlen részformula külső zárójelei nem hagyhatók el.
\item A részformula egy $(A \bullet B)$ vagy $A \bullet B$ alakú formula, melynek $A$ és $B$ közvetlen részformuláiban kell dönteni a külső zárójelek sorsáról. Ha az $A$ formula $A_{1} \circ A_{2}$ alakú, akkor $A$ külső zárójelpárja akkor hagyható el, ha $\circ$ nagyobb precedenciájú, mint $\bullet$. Ha a $B$ formula $B_{1} \circ B_{2}$ alakú, akkor $B$ külső zárójelpárja akkor hagyható el, ha $\circ$ nagyobb vagy egyenlő precedenciájú, mint $\bullet$.
\item Ha egy $(A \wedge B)$ vagy $A \wedge B$ alakú formula valamely közvetlen részformulája szintén konjunkció, illetve egy
$(A \vee B)$ vagy $A \vee B$ alakú formula valamely közvetlen részformulája szintén diszjunkció, akkor az ilyen részformulákból a külső zárójelpár elhagyható.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Formulaláncok}: A zárójelek elhagyására vonatkozó megállapodásokat figyelembe véve úgynevezett konjunkciós, diszjunkciós, illetve implikációs formulaláncokat is nyerhetünk. Ezek alakja $A_{1} \wedge ... \wedge A_{n}$, $A_{1} \vee ... \vee A_{n}$, illetve
$A_{1} \supset ... \supset A_{n}$ Ezeknek a láncformuláknak a fő logikai összekötőjelét a következő zárójelezési megállapodással fogjuk meghatározni: $(A_{1} \wedge (A_{2} \wedge ... \wedge (A_{n-1} \wedge A_{n})...))$, $(A_{1} \vee (A_{2} \vee ... \vee (A_{n-1} \vee A_{n})...))$, illetve $(A_{1} \supset (A_{2} \supset ... \supset (A_{n-1} \supset A_{n})...))$
\subsubsection{Az ítéletlogika szemantikája}
\noindent \textbf{Interpretáció}: $\mathcal{L}_{0}$ interpretációján egy $\mathcal{I} : V_{v} \to \mathbb{L}$ függvényt értünk, mely minden ítéletváltozóhoz egyértelműen hozzárendel egy igazságértéket.\\
\noindent \textbf{Boole-értékelés}: $\mathcal{L}_{0}$-beli formulák $\mathcal{I}$ \textit{interpretációbeli Boole-értékelése} a következő $\mathcal{B}_{\mathcal{I}} : \mathcal{L}_{0} \to \mathbb{L}$ függvény:
\begin{enumerate}
\item ha $A$ prímformula, akkor $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(A) = \mathcal{I}(A)$,
\item $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(\neg A)$ legyen $\neg \mathcal{B}_{\mathcal{I}}(A) $,
\item $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(A \wedge B)$ legyen $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(A) \wedge \mathcal{B}_{\mathcal{I}}(B)$,
\item $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(A \vee B)$ legyen $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(A) \vee \mathcal{B}_{\mathcal{I}}(B)$,
\item $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(A \supset B)$ legyen $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(A) \supset \mathcal{B}_{\mathcal{I}}(B)$,
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Bázis}: A formula ítéletváltozóinak egy rögzített sorrendje.\\
\noindent \textbf{Szemantikus fa}: Egy formula különböző interpretációit szemantikus fa segítségével szemléltethetjük. A szemantikus
fa egy olyan bináris fa, amelynek $i$. szintje ($i>=1$) a bázis $i$. ítéletváltozójához tartozik, és minden csúcsából két él indul, az
egyik a szinthez rendelt ítéletváltozóval, a másik annak negáltjával címkézve. Az $X$ ítéletváltozó esetén az $X$ címke jelentse azt, hogy az $X$ \textit{igaz} az adott interpretációban, a $\neg X$ címke pedig azt, hogy \textit{hamis} az adott interpretációban. A szemantikus fa
minden ága egy-egy lehetséges interpretációt reprezentál. Egy $n$ változós formula esetén minden ág $n$ hosszú, és a fának $2^{n}$ ága van és az összes lehetséges interpretációt tartalmazza.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/szemantikusfa}
\caption{Az X,Y,Z ítéletváltozókat tartalmazó formula szemantikus fája.}
\label{fig:szemantikusfa}
\end{figure}
\noindent \textbf{Igazságtábla}: Egy $n$ változós formula igazságtáblája egy $n+1$ oszlopból és $2^{n}$ sorból álló táblázat.
A táblázat fejlécében az $i$. oszlophoz ($1<=i<=n$) a formula bázisának $i$. ítéletváltozója, az $n+1$. oszlophoz maga a formula
van hozzárendelve. Az első $n$ oszlopban az egyes sorokhoz megadjuk rendre a formula különböző interpretációit, majd a formula
oszlopába minden sorba beírjuk a formula - a sorhoz tartozó interpretációbeli Boole-értékeléssel kapott - igazságértékét.\\
\noindent \textbf{A logikai műveletek igazságtáblája}:
\begin{table}[H]
\begin{tabular}{ll|lllll}
X & Y & $\neg X$ & $X \wedge Y$ & $X \vee Y$ & $ X \supset Y$ & \\ \hline
i & i & h & i & i & i & \\
i & h & h & h & i & h & \\
h & i & i & h & i & i & \\
h & h & i & h & h & i &
\end{tabular}
\end{table}
\noindent \textbf{Igazhalmaz, hamishalmaz}: Egy $A$ formula igazhalmaza $(A^{i})$
azon interpretációk halmaza, melyen a formula igazságértékelése igaz. Az $A$ formula
hamishalmaza $(A^{h})$ pedig azon interpretációk halmaza, melyekre a formula igazságértékelése hamis.\\
\noindent \textbf{Igazságértékelés függvény}: Olyan függvény, amely minden formulához hozzárendeli az igazhalmazát ($\varphi A^{i}$) vagy
a hamishalmazát ($\varphi A^{h}$).\\
Legyen $A$ egy tetszőleges ítéletlogikai formula. Határozzuk meg $A$-hoz az interpretációira vonatkozó $\varphi A^{i}$, illetve
$\varphi A^{h}$ feltételeket a következőképpen:
\begin{enumerate}
\item Ha $A$ prímformula, a $\varphi A^{i}$ feltételt pontosan azok az $\mathcal{I}$ interpretációk elégítik ki, melyekre
$\mathcal{I}(A)=igaz$, a $\varphi A^{h}$ feltételt pedig pontosan azok melyekre $\mathcal{I}(A)=hamis$.
\item A $\varphi (\neg A)^{i}$ feltételek pontosan akkor teljesülnek, ha teljesülnek a $\varphi A^{h}$ feltételek.
\item A $\varphi (A \wedge B)^{i}$ feltételek pontosan akkor teljesülnek, ha a $\varphi A^{i}$ és a $\varphi B^{i}$ feltételek egyszerre teljesülnek.
\item A $\varphi (A \vee B)^{i}$ feltételek pontosan akkor teljesülnek, ha a $\varphi A^{i}$ vagy a $\varphi B^{i}$ feltételek teljesülnek.
\item A $\varphi (A \supset B)^{i}$ feltételek pontosan akkor teljesülnek, ha a $\varphi A^{h}$ vagy a $\varphi B^{i}$ feltételek teljesülnek.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Tétel}: Tetszőleges $A$ ítéletlogikai formula esetén a $\varphi A^{i}$ feltételeket pontosan az $A^{i}$-beli
interpretációk teljesítik.\\
\noindent \textbf{Igazságértékelés-fa}: Egy $A$ formula $\varphi A^{i}$, illetve $\varphi A^{h}$ feltételeket kielégítő interpretációit
az igazságértékelés-fa segítségével szemléltethetjük. Az igazságértékelés-fát a formula szerkezeti fájának felhasználásával állítjuk elő.
A gyökérhez hozzárendeljük, hogy $A$ melyik igazságértékre való igazságértékelés-feltételeit keressük, majd a gyökér alá $A$ közvetlen részformulái kerülnek a megfelelő feltétel-előírással, az alábbiak szerint:
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/igazsagertfa}
\caption{Igazságértékelés-fa feltétel-előírásai.}
\label{fig:igazsagertfa}
\end{figure}
Ezután a gyökérhez a \checkmark (feldolgozott) jelet rendeljük. Az eljárást rekurzívan folytatjuk, amíg egy ágon a fel nem dolgozott
formulák
\begin{itemize}
\item (a) mind ítéletváltozók nem lesznek, vagy
\item (b) ugyanarra a formulára egymásnak ellentmondó előírás nem jelenik meg.
\end{itemize}
Az (a) esetben az ágon előforduló ítéletváltozóknak az ágon rögzített igazságértékeit tartalmazó $n$-esek mind elemei $\varphi A^{i}$
gyökér esetén a formula igazhalmazának, $\varphi A^{h}$ gyökér esetén a formula hamishalmazának.
A (b) esetben nem áll elő ilyen igazságérték $n$-es.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/igazsagertfapelda}
\caption{Az $(Y \vee Z) \wedge (Z \supset \neg X)$ formula igazságértékelés-fája.}
\label{fig:igazsagertfapelda}
\end{figure}
\noindent A fenti példában a formula igazhalmaza az igazságértékelés-fa alapján: $\left\{(i,i,h),(h,i,i),(h,i,h),(h,h,i)\right\}$\\
\noindent \textbf{Kiterjesztett igazságtábla}: Egy igazságtáblában a formula igazságértéke kiszámításának megkönnyítésére vezették
be a kiterjesztett igazságtáblát. A kiterjesztett igazságtáblában az ítéletváltozókhoz és a formulához rendelt oszlopokon kívül rendre
a formula részformuláihoz tartozó oszlopok is megjelennek. Tulajdonképpen a szerkezeti fában megjelenő részformulák vannak felsorolva.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/kiterjigaztabla}
\caption{Az $(Y \vee Z) \wedge (Z \supset \neg X)$ formula kiterjesztett igazságtáblája.}
\label{fig:kiterjigaztabla}
\end{figure}
\noindent \textbf{Formula kielégíthetősége, modellje}: Egy $A$ ítéletlogikai formula \textit{kielégíthető}, ha létezik olyan $\mathcal{I}$
interpretáció, melyre $\mathcal{I} \models_{0} A$, azaz a $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}$ Boole-értékelés $A$-hoz igaz értéket rendel. Egy
ilyen interpretációt $A$ \textit{modelljének} nevezünk. Ha $A$-nak nincs modellje, akkor azt mondjuk, hogy \textit{kielégíthetetlen}.
Ha $A$ igazságtáblájában van olyan sor, amelyben a formula oszlopában igaz érték szerepel, akkor a formula kielégíthető, különben kielégíthetetlen. Ugyanígy, ha $\varphi A^{i}$ nem üres, akkor kielégíthető, különben kielégíthetetlen.\\
\noindent \textbf{Ítéletlogikai törvény, tautológia}: Egy $A$ ítéletlogikai formula \textit{ítéletlogikai törvény} vagy másképpen \textit{tautológia}, ha $\mathcal{L}_{0}$ minden interpretációja modellje $A$-nak. (jelölés: $\models_{0} A$)\\
\noindent \textbf{Eldöntésprobléma}: Eldöntésproblémának nevezzük a következő feladatokat:
\begin{enumerate}
\item Döntsük el tetszőleges formuláról, hogy tautológia-e!
\item Döntsük el tetszőleges formuláról, hogy kielégíthetetlen-e!
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Tautologikusan ekvivalens formulák}: Az $A$ és $B$ ítéletlogikai formulák \textit{tautologikusan ekvivalensek} (jelölés: $A \sim _{0} B$), ha $\mathcal{L}_{0}$ minden $\mathcal{I}$ interpretációjában $\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(A)=\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(B)$.\\
\noindent \textbf{Formulahalmaz kielégíthetősége, modellje}: $\mathcal{L}_{0}$ formuláinak egy tetszőleges $\Gamma$ halmaza
kielégíthető, ha van $\mathcal{L}_{0}$-nak olyan $\mathcal{I}$ interpretációja, melyre: $\forall A \in \Gamma: \mathcal{I} \models_{0} A$.
Egy ilyen $\mathcal{I}$ interpretáció modellje $\Gamma$-nak. Ha $\Gamma$-nak nincs modellje, akkor $\Gamma$ kielégíthetetlen.\\
\noindent \textbf{Lemma}: Egy $\left\{A_{1},A_{2},...,A_{n}\right\}$ formulahalmaznak pontosan azok az $\mathcal{I}$ interpretációk
a modelljei, amelyek a $A_{1} \wedge A_{2} \wedge ... \wedge A_{n}$ formulának. Következésképpen $\left\{A_{1},A_{2},...,A_{n}\right\}$
pontosan akkor kielégíthetetlen, ha az $A_{1} \wedge A_{2} \wedge ... \wedge A_{n}$ formula kielégíthetlen.\\
\noindent \textbf{Szemantikus következmény}: Legyen $\Gamma$ ítéletlogikai formulák tetszőleges halmaza, $B$ egy tetszőleges formula.
Azt mondjuk, hogy a $B$ formula \textit{tautologikus következménye} a $\Gamma$ formulahalmaznak (jelölés: $\Gamma \models_{0} B$), ha minden olyan interpretáció, amely modellje $\Gamma$-nak, modellje $B$-nek is. A $\Gamma$-beli formulákat feltételformuláknak, vagy premisszáknak,
a B formulát következményformulának (konklúziónak) hívjuk.\\
\noindent \textbf{Tétel}: Legyen $\Gamma$ ítéletlogikai formulák tetszőleges halmaza, $A$,$B$,$C$ tetszőleges ítéletlogikai formulák.
Ha $\Gamma \models_{0} A$, $\Gamma \models_{0} B$ és $\left\{A,B\right\} \models_{0} C$, akkor $\Gamma \models_{0} C$.\\
\noindent \textbf{Tétel}: Legyenek $A_{1},A_{2},...,A_{n}, B$ tetszőleges ítéletlogikai formulák.
$\left\{A_{1},A_{2},...,A_{n}\right\} \models_{0} B$ pontosan akkor, ha a $\left\{A_{1},A_{2},...,A_{n}, \neg B\right\}$
formulahalmaz kielégíthetetlen, azaz a $A_{1} \wedge A_{2} \wedge ... \wedge A_{n} \wedge \neg B$ formula kielégíthetetlen.\\
\noindent \textbf{Tétel}: Legyenek $A_{1},A_{2},...,A_{n}, B$ tetszőleges ítéletlogikai formulák.
$\left\{A_{1},A_{2},...,A_{n}\right\} \models_{0} B$ pontosan akkor, ha
$\models_{0} A_{1} \wedge A_{2} \wedge ... \wedge A_{n} \supset B$.\\
\paragraph{Ekvivalens átalakítások}
Fogalmak:
\begin{enumerate}
\item Egy prímformulát (ítéletváltozót), vagy annak a negáltját közös néven \textit{literálnak} nevezünk. A prímformula
a \textit{literál alapja}. Egy literált bizonyos esetekben \textit{egységkonjunkciónak} vagy \textit{egységdiszjunkciónak}
(\textit{egységklóznak}) is hívunk.
\item \textit{Elemi konjunkció} az egységkonjunkció, illetve a különböző alapú literálok konjunkciója ($\wedge$ kapcsolat
a literálok között). \textit{Elemi diszjunkció} vagy \textit{klóz} az egységdiszjunkció és a különböző alapú literálok
diszjunkciója ($\vee$ kapcsolat a literálok között). Egy elemi konjunkció, illetve elemi diszjunkció \textit{teljes}
egy $n$-változós logikai műveletre nézve, ha mind az $n$ ítéletváltozó alapja valamely literáljának.
\item \textit{Diszjunktív normálformának} (DNF) nevezzük az elemi konjunkciók diszjunkcióját.
\textit{Konjunktív normálformának} (KNF) nevezzük az elemi diszjunkciók konjunkcióját. \textit{Kitüntetett}
diszjunktív, illetve konjunktív normálformákról (KDNF, ileltve KKNF) beszélünk, ha a bennük szereplő
elemi konjunkciók, illetve elemi diszjunkciók teljesek.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Tetszőleges logikai műveletet leíró KDNF, KKNF előállítása}: Legyen $b: \mathbb{L}^{n} \to \mathbb{L}$
egy $n$-változós logikai művelet. Adjuk meg $b$ művelettábláját.
Az első $n$ oszlop fejlécébe az $X_{1}$, $X_{2}$, ... $X_{n}$ ítéletváltozókat írjuk.\\
\noindent A $b$-t leíró KDNF előállítása:
\begin{enumerate}
\item Válasszuk ki azokat a sorokat a művelettáblában, ahol az adott igazságérték $n$-eshez $b$ \textit{igaz}
értéket rendel hozzá. Legyenek ezek a sorok rendre $s_{1}, s_{2}, .. s_{r}$. Minden ilyen sorhoz rendeljünk
hozzá egy $X_{1}' \wedge X_{2}' \wedge ... \wedge X_{n}'$ teljes elemi konjunkciót úgy, hogy az $X_{j}'$ literál
$X_{j}$ vagy $\neg X_{j}$ legyen aszerint, hogy ebben a sorban $X_{j}$ \textit{igaz} vagy \textit{hamis} igazságérték
szerepel. Az így nyert teljes elemi konjunkciók legyenek rendre $k_{s_{1}}, k_{s_{2}}, .. k_{s_{r}}$.
\item Az így kapott teljes elemi konjunkciókból készítsünk egy diszjunkciós láncformulát:
$k_{s_{1}} \vee k_{s_{2}} \vee ... \vee k_{s_{r}}$. Ez a formula lesz a $b$ művelet kitüntetett diszjunktív
normálformája (KDNF).
\end{enumerate}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/kdnf_pelda}
\caption{Egy háromváltozós $b$ logikai művelet művelettáblája és az előállított teljes elemi konjunkciók.}
\label{fig:kdnf_pelda}
\end{figure}
A fenti példa $b$ műveletének kitüntetett diszjunktív normálformája a következő formula:\\
$(X \wedge Y \wedge \neg Z) \vee (X \wedge \neg Y \wedge \neg Z) \vee (\neg X \wedge Y \wedge Z) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge Z) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge \neg Z)$.\\
\noindent A $b$-t leíró KKNF előállítása:
\begin{enumerate}
\item Válasszuk ki azokat a sorokat a művelettáblában, ahol az adott igazságérték $n$-eshez $b$ \textit{hamis}
értéket rendel hozzá. Legyenek ezek a sorok rendre $s_{1}, s_{2}, .. s_{r}$. Minden ilyen sorhoz rendeljünk
hozzá egy $X_{1}' \vee X_{2}' \vee ... \vee X_{n}'$ teljes elemi diszjunkciót úgy, hogy az $X_{j}'$ literál
$X_{j}$ vagy $\neg X_{j}$ legyen aszerint, hogy ebben a sorban $X_{j}$ \textit{hamis} vagy \textit{igaz} igazságérték
szerepel. Az így nyert teljes elemi diszjunkciók legyenek rendre $d_{s_{1}}, d_{s_{2}}, .. d_{s_{r}}$.
\item Az így kapott teljes elemi diszjunkciókból készítsünk egy konjunkciós láncformulát:
$d_{s_{1}} \wedge d_{s_{2}} \wedge ... \wedge d_{s_{r}}$. Ez a formula lesz a $b$ művelet kitüntetett konjunktív
normálformája (KKNF).
\end{enumerate}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/kknf_pelda}
\caption{Egy háromváltozós $b$ logikai művelet művelettáblája és az előállított teljes elemi diszjunkciók.}
\label{fig:kknf_pelda}
\end{figure}
A fenti példa $b$ műveletének kitüntetett konjunktív normálformája a következő formula:\\
$(\neg X \vee \neg Y \vee \neg Z) \wedge (\neg X \vee Y \vee \neg Z) \wedge (X \vee Y \vee \neg Z)$. \\
\noindent \textbf{KNF, DNF egyszerűsítése}: Egy ítéletlogikai formula logikai összetettségén a formulában szereplő
logikai összekötőjelek számát értettük. Ugyanazt a logikai műveletet leíró formulák közül azt tekintjük egyszerűbbnek,
amelynek kisebb a logikai összetettsége (azaz kevesebb logikai összekötőjelet tartalmaz).
Legyen $X$ egy ítéletváltozó $k$ egy az $X$-et nem tartalmazó elemi konjunkció, $d$ egy $X$-et nem tartalmazó elemi
diszjunkció. Ekkor az
\begin{itemize}
\item (a) $(X \wedge k) \vee (\neg X \wedge k) \sim_{0} k $ és
\item (b) $(X \vee d) \wedge (\neg X \vee d) \sim_{0} d $
\end{itemize}
egyszerűsítési szabályok alkalmazásával konjunktív és diszjunktív normálformákat írhatunk át egyszerűbb alakba.\\
\noindent Klasszikus Quine--McCluskey-féle algoritmus KDNF egyszerűsítésére:
\begin{enumerate}
\item Soroljuk fel a KDNF-ben szereplő összes teljes elemi konjunkciót az $L_{0}$ listában, $j:=0$.
\item Megvizsgáljuk az $L_{j}$-ben szereplő összes lehetséges elemi konjunkciópárt, hogy alkalmazható-e
rájuk az (a) egyszerűsítési szabály. Ha igen, akkor a két kiválasztott konjunkciót $\checkmark$-val megjelöljük,
és az eredmény konjunkciót beírjuk a $L_{j+1}$ listába. Azok az elemi konjunkciók, amelyek az $L_{j}$ vizsgálata
során nem lesznek megjelölve, nem voltak egyszerűsíthetők, tehát bekerülnek az egyszerűsített diszjunktív
normálformába.
\item Ha az $L_{j+1}$ konjunkciólista nem üres, akkor $j:=j+1$. Hajtsuk végre újból a 2. lépést.
\item Az algoritmus során kapott, de meg nem jelölt elemi konjunkciókból készítsünk egy diszjunkciós
láncformulát. Így az eredeti KDNF-el logikailag ekvivalens, egyszerűsített DNF-et kapunk.
\end{enumerate}
\paragraph{Rezolúció}
Legyenek $A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}, B$ tetszőleges ítéletlogikai formulák.
Azt szeretnénk bebizonyítani, hogy $\left\{A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}\right\} \models_{0} B$,
ami ekvivalens azzal, hogy $\left\{A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}, \neg B\right\}$ kielégíthetetlen.
Írjuk át ez utóbbi formulahalmaz formuláit KNF alakba! Ekkor a
$\left\{KNF_{A_{1}}, KNF_{A_{2}}, ... , KNF_{A_{n}}, KNF_{\neg B}\right\}$ formulahalmazt
kapjuk, ami pontosan akkor kielégíthetetlen, ha a halmaz formuláiban szereplő klózok halmaza
kielégíthetetlen.
A klózokra vonatkozó egyszerűsítési szabály szerint ha $X$ ítéletváltozó, $C$ pedig $X$-et nem
tartalmazó klóz, akkor $(X \vee C) \wedge (\neg X \vee C) \sim_{0} C$. Az $X$ és a $\neg X$
egységklózok (azt mondjuk, hogy $X$ és $\neg X$ komplemens literálpár) konjunkciójával ekvivalens
egyszerűbb, egyetlen literált sem tartalmazó klóz az üres klóz, melyet a $\square$ jellel
jelölünk és definíció szerint minden interpretációban hamis igazságértékű.
Legyenek most $C_{1}$ és $C_{2}$ olyan klózok, melyek pontosan egy komplemens literálpárt tartalmaznak,
azaz $C_{1} = C_{1}' \vee L_{1}$ és $C_{2} = C_{2}' \vee L_{2}$, ahol $L_{1}$ és $L_{2}$ az egyetlen
komplemens literálpár ($C_{1}'$ és $C_{2}'$ üres klózok is lehetnek). Világos, hogy ha a két klózban
a komplemens literálpáron kívül is vannak literálok, és ezek nem mind azonosak, az egyszerűsítési
szabály alkalmazhatósági feltétele nem áll fenn.\\
\noindent \textbf{Tétel}: Ha $C_{1} = C_{1}' \vee L_{1}$ és $C_{2} = C_{2}' \vee L_{2}$,
ahol $L_{1}$ és $L_{2}$ komplemens literálpár, akkor $\left\{C_{1},C_{2}\right\} \models_{0} C_{1}' \vee C_{2}'$\\
\noindent \textbf{Rezolvens}: Legyenek $C_{1}$ és $C_{2}$ olyan klózok, melyek pontosan egy komplemens literálpárt tartalmaznak,
azaz $C_{1} = C_{1}' \vee L_{1}$ és $C_{2} = C_{2}' \vee L_{2}$, ahol $L_{1}$ és $L_{2}$ a komplemens literálpár,
a $C_{1}' \vee C_{2}'$ klózt a $(C_{1},C_{2})$ klózpár (vagy a $C_{1} \vee C_{2}$ formula) \textit{rezolvensének} nevezzük.
Ha $C_{1} = L_{1}$ és $C_{2} = L_{2}$ (azaz $C_{1}'$ és $C_{2}'$ üres klózok), rezolvensük az üres klóz ($\square$).
Az a tevékenység, melynek eredménye a rezolvens, a \textit{rezolválás}.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/rezolvens}
\caption{Példák klózpárok rezolválhatóságára, rezolvensére.}
\label{fig:rezolvens}
\end{figure}
\noindent \textbf{Tétel}: Ha a $C$ klóz a $(C_{1},C_{2})$ klózpár rezolvense, akkor azon $\mathcal{I}$ interpretációk
a $\left\{C_{1}, C_{2}\right\}$ klózhalmazt nem elégíthetik ki, amelyekben $C$ igazságértéke hamis, azaz
$\mathcal{B}_{\mathcal{I}}(C) = hamis$.\\
\noindent \textbf{Rezolúciós levezetés}: Egy $S$ klózhalmazból a $C$ klóz rezolúciós levezetése egy olyan véges
$k_{1}, k_{2}, ... ,k_{m} (m \geq 1)$ klózsorozat, ahol minden $j = 1, 2, ..., m$-re
\begin{enumerate}
\item vagy $k_{j} \in S$,
\item vagy van olyan $1 \leq s,t \le j$, hogy $k_{j}$ a $(k_{s}, k_{t})$ klózpár rezolvense,
\end{enumerate}
\noindent és a klózsorozat utolsó tagja, $k_{m}$, éppen a $C$ klóz.
Megállapodásunk szerint a rezolúciós kalkulus eldöntésproblémája az, hogy levezethető-e $S$-ből $\square$. A
rezolúciós levezetés célja tehát $\square$ levezetése $S$-ből. Azt, hogy $\square$ levezethető $S$-ből,
úgy is ki lehet fejezni, hogy létezik $S$-nek rezolúciós cáfolata.\\
\noindent Példa: Próbáljuk meg levezetni $\square$-t az
$S = \left\{\neg X \vee Y, \neg Y \vee Z, X \vee Z, \neg V \vee Y \vee Z, \neg Z \right\}$
klózhalmazból. A levezetés bármelyik $S$-beli klózból indítható.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{img/rezoluciopelda}
\caption{$\square$ rezolúciós levezetése $S$-ből.}
\label{fig:rezoluciopelda}
\end{figure}
\noindent \textbf{Lemma}: Legyen $S$ tetszőleges klózhalmaz. $S$-ből történő rezolúciós levezetés esetén bármely $S$-ből
levezetett klóz tautologikus következménye $S$-nek.\\
\noindent \textbf{A rezolúciós kalkulus helyessége}: A rezolúciós kalkulus \textit{helyes}, azaz tetszőleges
$S$ klózhalmaz esetén amennyiben $S$-ből levezethető $\square$, akkor $S$ \textit{kielégíthetetlen}.\\
\noindent \textbf{A rezolúciós kalkulus teljessége}: A rezolúciós kalkulus \textit{teljes}, azaz bármely véges, kielégíthetetlen
$S$ klózhalmaz esetén $S$-ből levezethető $\square$.\\
\noindent \textbf{Levezetési fa}: Egy rezolúciós levezetés szerkezetét \textit{levezetési fa} segítségével szemléltethetjük.
A levezetési fa csúcsai klózok. Két csúcsból pontosan akkor vezet él egy harmadik, közös csúcsba, ha az a két klóz rezolvense.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/rezoluciopelda_levfa}
\caption{Az előző példa levezetési fája.}
\label{fig:rezoluciopelda_levfa}
\end{figure}
\noindent \textbf{Rezolúciós stratégiák}:
\begin{itemize}
\item \textit{Lineáris rezolúció}: Egy $S$ klózhalmazból való lineáris rezolúciós levezetés egy olyan
$k_{1},l_{1},k_{2},l_{2}, ..., k_{m-1},l_{m-1}, k_{m}$ rezolúciós levezetés, amelyben minden
$j = 2, 3, ..., m$-re $k_{j}$ a $(k_{j-1},l_{j-1})$ klózpár rezolvense. A $k_{j}$ klózokat centrális
klózoknak, az $l_{j}$ klózokat mellékklózoknak nevezzük.
Tetszőleges rezolúciós levezetés átírható lineárissá, azaz a lineáris rezolúciós kalkulus teljes.
\item \textit{Lineáris inputrezolúció}: Egy $S$ klózhalmazból való lineáris inputrezolúciós levezetés
egy olyan $k_{1},l_{1},k_{2},l_{2}, ..., k_{m-1},l_{m-1}, k_{m}$ lineáris rezolúciós levezetés, amelyben minden
$j = 1, 2, ..., m-1$-re $l_{j} \in S$, azaz a lineáris inputrezolúciós levezetésben a mellékklózok $S$ elemei.
A lineáris inputrezolúciós stratégia nem teljes, de megadható olyan formulaosztály, melyre az. A legfeljebb egy
negált literált tartalmazó klózokat Horn-klózoknak nevezzük, a Horn-formulák pedig azok a formulák, melyek
konjunktív normálformája Horn-klózok konjunkciója. A lineáris inputrezolúciós stratégia Horn-formulák esetén teljes.
\end{itemize}
\subsection{Predikátumkalkulus}
\subsubsection{Elsőrendű logikai nyelvek szintaxisa}
Egy elsőrendű logikai nyelv ábécéje logikai és logikán kívüli szimbólumokat, továbbá elválasztójeleket tartalmaz.
A logikán kívüli szimbólumhalmaz megadható $<Srt, Pr, Fn, Cnst>$ alakban, ahol:
\begin{enumerate}
\item $Srt$ nemüres halmaz, elemei fajtákat szimbolizálnak,
\item $Pr$ nemüres halmaz, elemei predikátumszimbólumok,
\item az $Fn$ halmaz elemei függvényszimbólumok,
\item $Cnst$ pedig a függvényszimbólumok halmaza.
\end{enumerate}
\noindent Az $<Srt, Pr, Fn, Cnst>$ ábécé szignatúrája egy $<\nu_{1}, \nu_{2}, \nu_{3}>$ hármas, ahol
\begin{enumerate}
\item minden $P \in Pr$ predikátumszimbólumhoz $\nu_{1}$ a predikátumszimbólum alakját,
azaz a $(\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k})$ fajtasorozatot,
\item minden $f \in Fn$ függvényszimbólumhoz $\nu_{2}$ a függvényszimbólum alakját,
azaz a $(\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k}, \pi)$ fajtasorozatot és
\item minden $c \in Cnst$ konstansszimbólumhoz $\nu_{3}$ a konstansszimbólumhoz alakját,
azaz $(\pi)$-t
\end{enumerate}
\noindent rendel ($k > 0$ és $\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k}, \pi \in Srt$).
Logikai jelek az ítéletlogikában is használt logikai összekötőjelek, valamint az univerzális ($\forall$)
és egzisztenciális ($\exists$) kvantorok és a különböző fajtájú individuumváltozók. Egy elsőrendű
nyelv ábécéjében minden $\pi \in Srt$ fajtához szimbólumoknak megszámlálhatóan végtelen
$v_{1}^{\pi}, v_{2}^{\pi}, ...$ rendszere tartozik, ezeket a szimbólumokat nevezzük $\pi$ fajtájú
változóknak. Elválasztójel a nyitó és csukó zárójelek, és a vessző.
Az elsőrendű logikai nyelvekben az elválasztójelek és a logikai jelek mindig ugyanazok, viszont
a logikán kívüli jelek halmaza, illetve ezek szignatúrája nyelvről nyelvre lényegesen különbözhet.
Ezért mindig megadjuk a $<Srt, Pr, Fn, Cnst>$ négyest és ennek $<\nu_{1}, \nu_{2}, \nu_{3}>$
szignatúráját, amikor egy elsőrendű logikai nyelv ábécéjére hivatkozunk. Jelölése $V[V_{\nu}]$,
ahol $V_{\nu}$ adja meg a $<\nu_{1}, \nu_{2}, \nu_{3}>$ szignatúrájú $<Srt, Pr, Fn, Cnst>$ négyest.\\
\noindent \textbf{Termek}: A $V[V_{\nu}]$ ábécé feletti termek halmaza $\mathcal{L}_{t}[V_{\nu}]$, ami
a következő tulajdonságokkal bír:
\begin{enumerate}
\item Minden $\pi \in Srt$ fajtájú változó és konstans $\pi$ fajtájú term.
\item Ha az $f \in Fn$ függvényszimbólum $(\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k}, \pi)$ alakú
és $t_{1}, t_{2}, ..., t_{k}$ -- rendre $\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k}$ fajtájú -- termek,
akkor az $f(s_{1}, s_{2}, ..., s_{k})$ egy $\pi$ fajtájú term.
\item Minden term az 1-2. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Formulák}: A $V[V_{\nu}]$ ábécé feletti elsőrendű formulák halmaza $\mathcal{L}_{f}[V_{\nu}]$, ami
a következő tulajdonságokkal bír:
\begin{enumerate}
\item Ha a $P \in Pr$ predikátumszimbólum $(\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k})$ alakú
és az $t_{1}, t_{2}, ..., t_{k}$ -- rendre $\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k}$ fajtájú --
termek, akkor a $P(t_{1}, t_{2}, ..., t_{k})$ szó egy elsőrendű formula.
Az így nyert formulákat atomi formuláknak nevezzük.
\item Ha $S$ elsőrendű formula, akkor $\neg S$ is az.
\item Ha $S$ és $T$ elsőrendű formulák és $\circ$ binér logikai összekötőjel,
akkor $(S \circ T)$ is elsőrendű formula.
\item Ha $S$ eleme elsőrendű formula, $Q$ kvantor ($\forall$ vagy $\exists$) és $x$
tetszőleges változó, akkor $QxS$ is elsőrendű formula. Az így nyert formulákat kvantált formuláknak nevezzük,
a $\forall xS$ alakú formulák univerzálisan kvantált formulák, a $\exists xS$ alakú formulák
pedig egzisztenciálisan kvantált formulák. A kvantált formulákban $Qx$ a formula prefixe, $S$
pedig a magja.
\item Minden elsőrendű formula az 1-4. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.
\end{enumerate}
\noindent A $V[V_{\nu}]$ ábécé feletti elsőrendű logikai nyelv
$\mathcal{L}[V_{\nu}] = \mathcal{L}_{t}[V_{\nu}] \cup \mathcal{L}_{f}[V_{\nu}]$, azaz $\mathcal{L}[V_{\nu}]$
minden szava vagy term, vagy formula.\\
A negációs, konjunkciós, diszjunkciós, implikációs (ezek jelentése ua., mint nulladrendben) és kvantált formulák
összetett formulák.
Az elsőrendű logikai nyelv prímformulái az atomi formulák és a kvantált formulák.\\
\noindent \textbf{Változóelőfordulás fajtái}: Egy formula $x$ változójának egy előfordulása:
\begin{itemize}
\item szabad, ha nem esik $x$-re vonatkozó kvantor hatáskörébe,
\item kötött, ha $x$-re vonatkozó kvantor hatáskörébe esik.
\end{itemize}
\noindent \textbf{Változó fajtái}: Egy formula $x$ változója:
\begin{itemize}
\item szabad, ha minden előfordulása szabad,
\item kötött, ha minden előfordulása kötött, és
\item vegyes, ha van szabad és kötött előfordulása is.
\end{itemize}
\noindent \textbf{Formula zártsága, nyíltsága}: Egy formula:
\begin{itemize}
\item zárt, ha minden változója kötött,
\item nyílt, ha legalább egy változójának van szabad előfordulása és
\item kvantormentes, ha nincs benne kvantor
\end{itemize}
Megjegyzés: a zárt formulák elsőrendű állításokat szimbolizálnak (egy elsőrendű állítás nem más, mint elemek egy halmazára
megfogalmazott kijelentő mondat).
\subsubsection{Az elsőrendű logika szemantikája}
\noindent \textbf{Matematikai struktúra}: Matematikai struktúrán egy $<U, R, M, K>$ négyest értünk, ahol:
\begin{enumerate}
\item $U = \bigcup_{\pi} U_{\pi}$ nem üres alaphalmaz (univerzum),
\item $R$ az $U$-n értelmezett logikai függvények (relációk) halmaza,
\item $M$ az $U$-n értelmezett matematikai függvények (alapműveletek) halmaza,
\item $K$ az $U$ kijelölt elemeinek (konstansainak) halmaza (lehet üres).
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Interpretáció}: Az interpretáció egy $<U, R, M, K>$ matematikai struktúra és
$\mathcal{I} = <\mathcal{I}_{Srt}, \mathcal{I}_{Pr}, \mathcal{I}_{Fn}, \mathcal{I}_{Cnst}>$
függvénynégyes, ahol:
\begin{itemize}
\item az $\mathcal{I}_{Srt} : \pi \mapsto U_{\pi}$ függvény megad minden egyes $\pi \in Srt$ fajtához
egy $U_{\pi}$ nemüres halmazt, a $\pi$ fajtájú individuumok halmazát,
\item az $\mathcal{I}_{Pr} : P \mapsto P^{\mathcal{I}}$ függvény megad minden
$(\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k})$ alakú $P \in Pr$ predikátumszimbólumhoz egy
$P^{\mathcal{I}} : U_{\pi_{1}} \times U_{\pi_{2}} \times ... \times U_{\pi_{k}} \to \mathbb{L}$
logikai függvényt (relációt),
\item az $\mathcal{I}_{Fn} : f \mapsto f^{\mathcal{I}}$ függvény hozzárendel minden
$(\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k}, \pi)$ alakú $f \in Fn$ függvényszimbólumhoz egy
$P^{\mathcal{I}} : U_{\pi_{1}} \times U_{\pi_{2}} \times ... \times U_{\pi_{k}} \to U_{\pi}$
matematikai függvényt (műveletet),
\item az $\mathcal{I}_{Cnst} : c \mapsto ct^{\mathcal{I}}$ pedig minden $\pi$ fajtájú
$c \in Cnst$ konstansszimbólumhoz az $U_{\pi}$ individuumtartománynak egy individuumát
rendeli, azaz $c^{\mathcal{I}} \in U_{\pi}$.
\end{itemize}
\noindent \textbf{Változókiértékelés}: Legyen az $\mathcal{L}[V_{\nu}]$ nyelvnek $\mathcal{I}$ egy interpretációja,
az interpretáció univerzuma legyen U és jelölje V a nyelv változóinak halmazát. Egy olyan $\kappa : V \to U$ leképezést,
ahol ha $x$ $\pi$ fajtájú változó, akkor $\kappa(x) \in U_{\pi}$, $\mathcal{I}$-beli változókiértékelésnek nevezünk.\\
\noindent \textbf{$\mathcal{L}_{t}[V_{\nu}]$ szemantikája}:
Legyen az $\mathcal{L}[V_{\nu}]$ nyelvnek $\mathcal{I}$ egy interpretációja és $\kappa$ egy $\mathcal{I}$-beli
változókiértékelés. Az $\mathcal{L}[V_{\nu}]$ nyelv egy $\pi$ fajtájú $t$ termjének értéke $\mathcal{I}$-ben
a $\kappa$ változókiértékelés mellett az alábbi -- $|t|^{\mathcal{I},\kappa}$-val jelölt -- $U_{\pi}$-beli
individuum:
\begin{enumerate}
\item ha $c \in Cnst$ $\pi$ fajtájú konstansszimbólum, akkor $|c|^{\mathcal{I},\kappa}$ az $U_{\pi}$-beli
$c^{\mathcal{I}}$ individuum,
\item ha $x$ $\pi$ fajtájú változó, akkor $|x|^{\mathcal{I},\kappa}$ az $U_{\pi}$-beli $\kappa(x)$ individuum,
\item ha $t_{1}, t_{2}, ..., t_{k}$ rendre $\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k}$ fajtájú termek és ezek értékei
a $\kappa$ változókiértékelés mellett rendre az $U_{\pi_{1}}$-beli $|t_{1}|^{\mathcal{I},\kappa}$, az
$U_{\pi_{2}}$-beli $|t_{2}|^{\mathcal{I},\kappa}$ ... és az $U_{\pi_{k}}$-beli $|t_{k}|^{\mathcal{I},\kappa}$
individuumok, akkor egy $(\pi_{1}, \pi_{2}, ..., \pi_{k}, \pi)$ alakú $f \in Fn$ függvényszimbólum esetén
$|f(t_{1}, t_{2}, ..., t_{k})|^{\mathcal{I},\kappa}$ az $U_{\pi}$-beli
$f^{\mathcal{I}}(|t_{1}|^{\mathcal{I},\kappa}, |t_{2}|^{\mathcal{I},\kappa}, ..., |t_{k}|^{\mathcal{I},\kappa})$
individuum.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Változókiértékelés $x$-variánsa}: Legyen $x$ egy változó. A $\kappa^{*}$ változókiértékelés a
$\kappa$ változókiértékelés $x$-variánsa, ha $\kappa^{*}(y) = y$ minden $x$-től különböző $y$ változó esetén.\\
\noindent \textbf{Elsőrendű logikai formula logikai értéke}:
Legyen az $\mathcal{L}[V_{\nu}]$ nyelvnek $\mathcal{I}$ egy interpretációja és $\kappa$ egy $\mathcal{I}$-beli
változókiértékelés. Az $\mathcal{L}[V_{\nu}]$ nyelv egy $C$ formulájához $\mathcal{I}$-ben a $\kappa$ változókiértékelés
mellett az alábbi -- $|C|^{\mathcal{I},\kappa}$-val jelölt -- igazságértéket rendeljük:
\begin{enumerate}
\item $|P(t_{1}, t_{2}, ..., t_{k})|^{\mathcal{I},\kappa} = \left\{
\begin{array}{lr}
igaz & : P^{\mathcal{I}}(|t_{1}|^{\mathcal{I},\kappa}, |t_{2}|^{\mathcal{I},\kappa}, ..., |t_{k}|^{\mathcal{I},\kappa}) = igaz\\
hamis & : kulonben
\end{array}
\right\}$
\item $|\neg A|^{\mathcal{I},\kappa}$ legyen $\neg |A|^{\mathcal{I},\kappa}$
\item $|A \wedge B|^{\mathcal{I},\kappa}$ legyen $|A|^{\mathcal{I},\kappa} \wedge |B|^{\mathcal{I},\kappa}$
\item $|A \vee B|^{\mathcal{I},\kappa}$ legyen $|A|^{\mathcal{I},\kappa} \vee |B|^{\mathcal{I},\kappa}$
\item $|A \supset B|^{\mathcal{I},\kappa}$ legyen $|A|^{\mathcal{I},\kappa} \supset |B|^{\mathcal{I},\kappa}$
\item $|\forall x A|^{\mathcal{I},\kappa} = \left\{
\begin{array}{lr}
igaz & : |A|^{\mathcal{I},\kappa^{*}} = igaz \ \kappa \ minden \ \kappa^{*} \ x-variansara \\
hamis & : kulonben
\end{array}
\right\}$
\item $|\exists x A|^{\mathcal{I},\kappa} = \left\{
\begin{array}{lr}
igaz & : |A|^{\mathcal{I},\kappa^{*}} = igaz \ \kappa \ valamely \ \kappa^{*} \ x-variansara \\
hamis & : kulonben
\end{array}
\right\}$
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Elsőrendű formula kielégíthetősége}: Egy $A$ elsőrendű formula kielégíthető, ha van
olyan $\mathcal{I}$ interpretáció és $\kappa$ változókiértékelés, amelyre $|A|^{\mathcal{I},\kappa} = igaz$
(ekkor azt mondjuk, hogy az $\mathcal{I}$ interpretáció és $\kappa$ változókiértékelés kielégíti $A$-t),
különben kielégíthetetlen.
Amennyiben az $A$ formula zárt, igazságértékét egyedül az interpretáció határozza meg. Ha $|A|^{\mathcal{I}} = igaz$,
azt mondjuk, hogy az $\mathcal{I}$ kielégíti $A$-t vagy másképpen: $\mathcal{I}$ modellje $A$-nak ($\mathcal{I} \models A$).\\
\noindent \textbf{Logikailag igaz elsőrendű formula}: Egy $A$ elsőrendű logikai formula logikailag igaz,
ha minden $\mathcal{I}$ interpretációban és $\mathcal{I}$ minden $\kappa$ változókiértékelése mellett
$|A|^{\mathcal{I},\kappa} = igaz$. Jelölése: $\models A$.\\
\noindent \textbf{Szemantikus következmény}: Azt mondjuk, hogy a $G$ formula \textit{szemantikus következménye} az
$\mathcal{F}$ formulahalmaznak, ha minden olyan $\mathcal{I}$ interpretációra, amelyre $\mathcal{I} \models \mathcal{F}$
fennáll, $\mathcal{I} \models G$ is igaz (jelölés: $\mathcal{F} \models G$).\\
\noindent \textbf{Tétel}: Legyenek $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}, B$ ($n \geq 1$) tetszőleges, ugyanabból az elsőrendű logikai nyelvből
való formulák. Ekkor $\left\{A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}\right\} \models B$ akkor és csak akkor, ha
$A_{1} \wedge A_{2} \wedge ... \wedge A_{n} \wedge \neg B$ kielégíthetetlen.\\
\noindent \textbf{Rezolúció}: Elsőrendű predikátumkalkulusban is végezhető rezolúció, ráadásul a módszer
helyes és teljes is. Nehézséget a klózok kialakítása okozhat, amelyek zárt,
univerzálisan kvantált literálok konjunkciójából állnak. Ehhez eszközeink a
prenex-, illetve skolem-formák.
\section{Számításelmélet}
\subsection{Kiszámíthatóság}
\subsubsection{Algoritmusmodellek}
\begin{itemize}
\item \textbf{Gödel}: rekurzív függvények (primitív rekurzív függvények 1931-ben, majd általánosabb 1934-ben)
\item \textbf{Church}: $\lambda$-kalkulus, $\lambda$-definiálható függvények: ekvivalensek a rekurzív függvényekkel (bizonyított)
\item \textbf{Turing}: Turing-gép (1936), a $\lambda$-definiálható és a Turing-géppel kiszámítható függvények megegyeznek (bizonyított)
\end{itemize}
\noindent \textbf{Church-Turing tézis}: A kiszámíthatóság különböző matematikai modelljei mind az effektíven
kiszámítható függvények osztályát definiálják.
\subsubsection{Fogalmak}
Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott
kérdést, amire egy algoritmussal szeretnénk megadni a választ. A
gyakorlati élet szinte minden problémájához rendelhető, megfelelő absztrakciót
használva, egy kiszámítási probléma.\\
\noindent Egy problémát a hozzá tartozó konkrét bementettel együtt a probléma egy
példányának nevezzük.\\
Speciális kiszámítási probléma az eldöntési probléma. Ilyenkor a problémával
kapcsolatos kérdés egy eldöntendő kérdés, tehát a probléma egy példányára a
válasz "igen" vagy "nem" lesz.\\
Egy kiszámítási probléma reprezentálható egy $f : A \to B$ függvénnyel. Az $A$
halmaz tartalmazza a probléma egyes bemeneteit, jellemzően egy megfelelő ábécé
feletti szóban elkódolva, míg a $B$ halmaz tartalmazza a bemenetekre adott
válaszokat, szintén valamely alkalmas ábécé feletti szóban elkódolva. Értelemszerűen,
ha eldöntési problémáról van szó, akkor az $f$ értékkészlete, vagyis a $B$
egy két elemű halmaz: $\left\{igen, nem\right\}$, $\left\{1, 0\right\}$, stb.\\
\noindent \textbf{Kiszámítható függvény}: Egy $f : A \to B$ függvényt \textit{kiszámíthatónak}
nevezünk, ha minden $x \in A$ elemre az $f(x) \in B$ függvényérték kiszámítható valamilyen
algoritmikus modellel.\\
\noindent \textbf{Megoldható, eldönthető probléma}: Egy kiszámítási probléma \textit{megoldható}
(eldöntési probléma esetén azt mondjuk, hogy \textit{eldönthető}), ha az általa meghatározott
függvény kiszámítható.\\
\noindent \textbf{Algoritmusok időigénye}: Legyenek $f,g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ függvények, ahol
$\mathbb{N}$ a természetes számok halmaza. Azt mondjuk, hogy $f$ legfeljebb olyan gyorsan nő, mint $g$
(jelölése: $f(n) = \mathcal{O}(g(n))$), ha $\exists c>0$ és $n_{0} \in \mathbb{N}$, hogy
$f(n) \leq c * g(n) \ \forall n \geq n_{0}$. Az $f(n) = \Omega(g(n))$ jelöli azt, hogy $g(n) = \mathcal{O}(f(n))$
teljesül és $f(n) = \Theta(g(n))$ jelöli azt, hogy $f(n) = \mathcal{O}(g(n))$ és $f(n) = \Omega(g(n))$ is teljesül.\\
\noindent \textbf{Példa}: $3n^{3} + 5n^{2} + 6 = \mathcal{O}(n^{3})$, $n^{k} = \mathcal{O}(2^{n}) \ \forall k \geq 0$, stb.\\
\noindent \textbf{Tétel}: Minden polinomiális függvény lassabban nő, mint bármely exponenciális függvény,
azaz minden $p(n)$ polinomhoz és $c>0$-hoz $\exists n_{0}$ egész szám, hogy $\forall n \geq n_{0}$ esetén $p(n) \leq 2^{cn}$\\
\noindent \textbf{Kiszámítási probléma megfeleltetése eldöntési problémának}: Tekintsünk egy $P$ kiszámítási problémát
és legyen $f: A \to B$ a $P$ által meghatározott függvény. Ekkor megadható $P$-hez egy $P'$ eldöntési probléma úgy, hogy
$P'$ pontosan akkor eldönthető, ha $P$ kiszámítható. Állítsuk párba ugyanis minden $a \in A$ elemre az $a$ és $f(a)$ elemeket,
és kódoljuk el az így kapott párokat egy-egy szóban. Ezek után legyen $P'$ az így kapott szavakból képzett formális nyelv.
Nyilvánvaló, hogy ha minden $a \in A$ és $b \in B$ elemre az $(a,b) \in P'$ tartalmazás eldönthető (azaz $P'$ eldönthető), akkor
$P$ kiszámítható és fordítva.
E megfeleltetés miatt a továbbiakban jellemzően eldöntési problémákkal foglalkozunk.
\subsection{Turing-gépek}
Hasonlóan a véges automatához vagy a veremautomatához, a Turing-gép is
egy véges sok állapottal rendelkező eszköz. A Turing-gép egy két irányban
végtelen szalagon dolgozik. A szalag cellákra van osztva, tulajdonképpen ez
a gép (korlátlan) memóriája. Kezdetben a szalagon csak a bemenő szó van,
minden cellán egy betű. A szalag többi cellája egy úgynevezett blank vagy
szóköz ($\sqcup$) szimbólumokkal van feltöltve. Kezdetben a gép úgynevezett író-olvasó
feje a bemenő szó első betűjén áll és a gép a kezdőállapotában van.
A gép az író-olvasó fejet tetszőlegesen képes mozgatni a szalagon. Képes továbbá
a fej pozíciójában a szalag tartalmát kiolvasni és átírni. A gépnek van két
kitüntetett állapota, a $q_{i}$ és a $q_{n}$ állapotok. Ha ezekbe az állapotokba kerül,
akkor rendre elfogadja illetve elutasítja a bemenő szót.
Formálisan a Turing-gépet a következő módon definiáljuk.\\
\noindent \textbf{A Turing-gép formális definíciója}: A Turing-gép egy olyan
$M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_{0}, q_{i}, q_{n})$ rendszer, ahol:
\begin{itemize}
\item $Q$ az állapotok véges, nem üres halmaza,
\item $q_{0}, q_{i}, q_{n} \in Q$, $q_{0}$ a kezdőállapot, $q_{i}$ az elfogadó állapot,
$q_{n}$ pedig az elutasító állapot,
\item $\Sigma$ és $\Gamma$ ábécék, a bemenő jelek és a szalagszimbólumok ábécéje úgy, hogy
$\Sigma \subseteq \Gamma$ és $\Gamma - \Sigma$ tartalmaz egy speciális $\sqcup$ szimbólumot,
\item $\delta : (Q - \left\{q_{i},q_{n}\right\}) \times \Gamma \to Q \times \Gamma \times \left\{L, R, S\right\}$
az átmenetfüggvény.
\end{itemize}
Úgy mint a veremautomaták esetében, egy $M$ Turing-gép működésének fázisait is konfigurációkkal írhatjuk le.\\
\noindent \textbf{Turing-gép konfigurációja}: Az $M$ Turing-gép konfigurációja egy olyan $uqv$ szó, ahol
$q \in Q$ és $u, v \in \Gamma^{*}$, $v \not = \varepsilon$. Ez a konfiguráció az $M$ azon állapotát tükrözi
amikor a szalag tartalma $uv$ ($uv$ előtt és után a szalagon már csak $\sqcup$ van), a gép a $q$ állapotban van,
és az író-olvasó fej a $v$ első betűjére mutat. $M$ összes konfigurációjának halmazát $\mathcal{C}_{M}$-el jelöljük.\\
\noindent \textbf{Turing-gép kezdőkonfigurációja}: $M$ kezdőkonfigurációja egy olyan $q_{0}u\sqcup$ szó, ahol
$u$ csak $\Sigma$-beli betűket tartalmaz.\\
\noindent \textbf{Turing-gép konfigurációátmenete}: $M$ konfigurációátmenete egy olyan
$\vdash \subseteq \mathcal{C}_{M} \times \mathcal{C}_{M}$ reláció, amit a következőképpen definiálunk.
Legyen $uqav$ egy konfiguráció, ahol $a \in \Gamma$ és $u, v \in \Gamma^{*}$. A következő három esetet
különböztetjük meg:
\begin{enumerate}
\item Ha $\delta(q,a) = (r, b, S)$, akkor $uqav \vdash urbv$.
\item Ha $\delta(q,a) = (r, b, R)$, akkor $uqav \vdash ubrv'$, ahol $v' = v$, ha $v \not = \varepsilon$, különben
$v' = \sqcup$.
\item Ha $\delta(q,a) = (r, b, L)$, akkor $uqav \vdash u'rcbv$, ahol $u'c = u$ valamely $u' \in \Gamma^{*}$-ra
és $c \in \Gamma$-ra, ha $u \not = \varepsilon$, egyébként pedig $u' = \varepsilon$, $c = \sqcup$.
\end{enumerate}
Azt mondjuk, hogy $M$ véges sok lépésben eljut a $C$ konfigurációból a $C'$ konfigurációba (jele $C \vdash^{*} C'$),
ha létezik olyan $n \geq 0$ és $C_{1}, ... C_{n}$ konfigurációsorozat, hogy $C_{1} = C$, $C_{n} = C'$ és minden
$1 \leq i < n$-re $C_{i} \vdash C_{i+1}$.
Ha $q \in \left\{q_{i}, q_{n}\right\}$, akkor azt mondjuk, hogy az $uqv$ konfiguráció egy megállási
konfiguráció. Továbbá, $q = q_{i}$ esetében elfogadó, míg $q = q_{n}$ esetében elutasító
konfigurációról beszélünk.\\
\noindent \textbf{Turing-gép által felismert nyelv}: Az $M$ Turing-gép által felismert nyelv (jelölése $L(M)$)
azoknak az $u \in \Sigma^{*}$ szavaknak a halmaza, melyekre igaz, hogy $q_{0}u\sqcup \vdash^{*} xq_{i}y$
valamely $x,y \in \Gamma^{*}$, $y \not = \varepsilon$ szavakra.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/turinggep_pelda}
\caption{Egy, az $L = \left\{u\#u \ | \ u \in \left\{0,1\right\}^{+}\right\}$ felismerő Turing-gép.}
\label{fig:turinggep_pelda}
\end{figure}
\noindent \textbf{Turing-gépek ekvivalenciája}: Két Turing-gépet ekvivalensnek nevezünk, ha ugyanazt a nyelvet ismerik fel.\\
\noindent \textbf{Turing-felismerhető nyelv, rekurzívan felismerhető nyelvek osztálya}:
Egy $L \subseteq \Sigma^{*}$ nyelv Turing-felismerhető, ha $L = L(M)$ valamely $M$ Turing-gépre.
A Turing-felismerhető nyelveket szokás \textit{rekurzívan felsorolhatónak} is nevezni.
A rekurzívan felsorolható nyelvek osztályát $RE$-vel jelöljük.\\
\noindent \textbf{Turing-eldönthető nyelv, rekurzív nyelvek osztálya}:
Egy $L \subseteq \Sigma^{*}$ nyelv Turing-eldönthető, ha létezik olyan Turing-gép,
amely minden bemeneten megállási konfigurációba jut és felismeri $L$-et.
A Turing-felismerhető nyelveket szokás \textit{rekurzívnak} is nevezni.
A rekurzív nyelvek osztályát $R$-rel jelöljük.\\
\noindent \textbf{Turing-gép futási ideje, időigénye}:
Tekintsünk egy $M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_{0}, q_{i}, q_{n})$ Turing-gépet és annak egy
$u \in \Sigma^{*}$ bemenő szavát. Azt mondjuk, hogy $M$ futási ideje (időigénye) az $u$ szón $n$ ($n \geq 0$),
ha $M$ a $q_{0}u\sqcup$ kezdőkonfigurációból $n$ lépésben el tud jutni egy megállási konfigurációba. Ha nincs ilyen
szám, akkor $M$ futási ideje az $u$ szón végtelen.
Legyen $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ egy függvény. Azt mondjuk, hogy $M$ időigénye $f(n)$ (vagy azt, hogy $M$
egy $f(n)$ időkorlátos gép), ha minden $u \in \Sigma^{*}$ input szóra $M$ időigénye az $u$ szón legfeljebb $f(l(u))$.
\subsubsection{Többszalagos Turing-gépek}
A többszalagos Turing-gépek, értelemszerűen, egynél több szalaggal rendelkeznek.
Mindegyik szalaghoz tartozik egy-egy író-olvasó fej, melyek egymástól
függetlenül képesek mozogni a szalagon.\\
\noindent \textbf{Többszalagos Turing-gép definíciója}: Legyen $k > 1$. Egy $k$-szalagos Turing-gép egy olyan
$M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_{0}, q_{i}, q_{n})$ rendszer, ahol a komponensek a $\delta$ kivételével
megegyeznek az egyszalagos Turing-gép komponenseivel, $\delta$ pedig a következőképpen adódik.
$\delta : (Q - \left\{q_{i},q_{n}\right\}) \times \Gamma^{k} \to Q \times \Gamma^{k} \times \left\{L, R, S\right\}^{k}$.
Legyenek $q, p \in Q$, $a_{1}, a_{2}, ... , a_{k}, b_{1}, b_{2}, ..., b_{k} \in \Gamma$ és
$D_{1}, D_{2}, ..., D_{k} \in \left\{L, R, S\right\}$. Ha $\delta(q,a_{1}, a_{2}, ... , a_{k}) = (p,b_{1}, b_{2}, ..., b_{k}, D_{1}, D_{2}, ..., D_{k})$, akkor a gép akkor a gép a $q$ állapotból, ha a szalagjain rendre az
$a_{1}, a_{2}, ... , a_{k}$ betűket olvassa, át tud menni a $p$ állapotba, miközben az
$a_{1}, a_{2}, ... , a_{k}$ betűket átírja a $b_{1}, b_{2}, ... , b_{k}$ betűkre és a szalagokon a fejeket
$D_{1}, D_{2}, ... , D_{k}$ irányokba mozgatja.
A többszalagos Turing-gép konfigurációja, a konfigurációátmenet valamint a
felismert illetve eldöntött nyelv definíciója az egyszalagos eset értelemszerű általánosítása.
A többszalagos Turing-gép időigényét is az egyszalagoshoz hasonlóan definiáljuk.\\
\noindent \textbf{Többszalagos és egyszalagos gépek ekvivalenciája}: Minden $k$-szalagos, $f(n)$ időkorlátos Turing-géphez
van vele ekvivalens $\mathcal{O}(n*f(n))$ időkorlátos egyszalagos Turing-gép.
\subsubsection{Nemdeterminisztikus Turing-gépek}
Egy $M$ nemdeterminisztikus Turing-gép állapotfüggvénye
$\delta : (Q - \left\{q_{i},q_{n}\right\}) \times \mathcal{P}(\Gamma \to Q \times \Gamma \times \left\{L, R\right\})$
alakú. Tehát $M$ minden konfigurációjából néhány (esetleg nulla) különböző konfigurációba mehet át.
Ily módon $M$ számítási sorozatai egy $u$ szón egy fával reprezentálhatók. A fa csúcsa $M$ kezdőkonfigurációja,
a szögpontjai pedig $M$ konfigurációi. A fa minden levele megfelel $M$ egy számítási sorozatának az
$u$-n. $M$ akkor fogadja el $u$-t, ha a fa valamelyik levele elfogadó konfiguráció.
Nevezzük ezt a most leírt fát az $M$ nemdeterminisztikus számítási fájának az
$u$-n. Az $M$ által felismert nyelv a determinisztikus esethez hasonlóan definiálható,
a gép által eldöntött nyelv pedig a következőképpen.\\
\noindent \textbf{Nemdeterminisztikus Turing-gép által eldöntött nyelv}: Azt mondjuk, hogy egy nemdeterminisztikus
$M$ Turing-gép eldönt egy $L \subseteq \Gamma^{*}$ nyelvet, ha felismeri, és minden $u \in \Sigma{*}$ szóra
$M$ számítási sorozatai végesek és elfogadási vagy elutasítási konfigurációba vezetnek.\\
\noindent \textbf{Nemdeterminisztikus Turing-gép időigénye}: Legyen $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ függvény, $M$
egy nemdeterminisztikus Turing-gép. Az $M$ időigénye $f(n)$, ha egy $n$ hosszú $u$ bemeneten nincsenek $M$-nek
$f(n)$-nél hosszabb számítási sorozatai, azaz az $M$ számítási fája az $u$-n legfeljebb $f(n)$ magas.\\
\noindent \textbf{Determinisztikus és nemdeterminisztikus Turing-gépek ekvivalenciája}:
Minden $M$ nemdeterminisztikus Turing-géphez megadható egy ekvivalens $M'$ determinisztikus Turing-gép.
Továbbá, ha $M$ $f(n)$ időigényű valamely $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ függvényre, akkor
$M'$ $2^{\mathcal{O}(f(n))}$ időigényű.
\subsection{Eldönthetetlen problémák}
Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy bár a Turing-gép a lehető legáltalánosabb
algoritmus modell, mégis vannak olyan problémák, melyek nem számíthatók ki Turing-géppel.\\
\noindent \textbf{Emlékeztető}: A rekurzívan felsorolható (Turing-felismerhető) nyelvek osztályát $RE$-vel,
a rekurzív (Turing-eldönthető) nyelvek osztályát $R$-rel jelöljük.\\
Világos, hogy $R \subseteq RE $. A célunk az, hogy megmutassuk: az $R$ valódi részhalmaza az $RE$-nek,
azaz van olyan nyelv (probléma) ami Turing-felismerhető, de nem eldönthető.
Csak olyan Turing-gépeket fogunk vizsgálni, melyek bemenő ábécéje a $\left\{0, 1\right\}$ halmaz.
Ez nem jelenti az általánosság megszorítását, hiszen ha találunk egy olyan $\left\{0, 1\right\}$ feletti nyelvet,
melyet nem lehet eldönteni ilyen Turing-géppel, akkor ezt a nyelvet egyáltalán nem lehet eldönteni.\\
\subsubsection{Turing-gépek kódolása}
A $\left\{0, 1\right\}$ feletti szavak felsorolhatóak (vagyis megszámlálhatóak). Valóban, tekintsük azt a felsorolást,
amelyben a szavak a hosszuk szerint követik egymást, és két egyforma hosszú szó közül pedig az van
előbb, amelyik az alfabetikus rendezés szerint megelőzi a másikat. Ily módon
a $\left\{0, 1\right\}^{*}$ halmaz elemeinek egy felsorolása a következőképpen alakul: $w_{1} = \varepsilon$,
$w_{2} = 0$, $w_{3} = 1$, $w_{4} = 00$, $w_{5} = 01$ és így tovább. Ebben a fejezetben tehát a
$w_{i}$ szóval a $\left\{0, 1\right\}^{*}$ $i$. elemét jelöljük.
Legyen továbbá $M$ egy $\left\{0, 1\right\}$ inputábécé feletti Turing-gép. Van olyan $k > 0$ szám, hogy
$Q$-t felírhatjuk $Q = \left\{p_{1}, ... p_{k}\right\}$ alakban, ahol $p_{1} = q_{0}$, $p_{k-1} = q_{i}$, $p_{k} = q_{n}$.
Továbbá, van olyan $m > 0$ szám, hogy $\Gamma$-t felírhatjuk $\Gamma = \left\{X_{1}, ... X_{m}\right\}$ alakban,
ahol $X_{1} = 0$, $X_{2} = 1$, $X_{3} = \sqcup$, és $X_{4}, ... X_{m}$ az $M$ további szalagszimbólumai.
Nevezzük végül az $L, R, S$ szimbólumokat (amelyek irányokat jelölnek) rendre $D_{1}$, $D_{2}$ és $D_{3}$-nak.
Ezek után $M$ egy $\delta(p_{i},X_{j}) = (p_{r}, X_{s}, D_{t})$ ($0 \leq i,r \leq k$, $1 \leq j,s \leq m$ és $1 \leq t \leq 3$)
átmenete elkódolható a $0^{i}10^{j}10^{r}10^{s}10^{t}$ szóval. Mivel minden $0$-s blokk hossza legalább $1$, az átmenetet
kódoló szóban nem szerepel az $11$ részszó. Tehát az M összes átmenetét kódoló szavakat összefűzhetjük egy olyan szóvá,
melyben az átmeneteket az $11$ részszó választja el egymástól. Az így kapott szó pedig magát $M$-et kódolja.\\
A továbbiakban $M_{i}$-vel jelöljük azt a Turing-gépet, amelyet a $w_{i}$ szó kódol ($i \geq 1$). Amennyiben
$w_{i}$ nem a fent leírt kódolása egy Turing-gépnek, akkor tekintsük $M_{i}$-t olyannak, ami minden input esetén
azonnal a $q_{n}$ állapotba megy, azaz $L(M_{i}) = \emptyset$.\\
A későbbiekben szükségünk lesz arra, hogy elkódoljunk egy $(M, w)$ Turing-gép és bemenet
párost egy $\left\{0, 1\right\}$ feletti szóban. Mivel a Turing-gépek kódolása nem tartalmazhat
$111$-et, ezért $(M, w)$ kódja a következő: $M$ kódja után írunk $111$-et, majd utána $w$-t.
\subsubsection{Egy nem rekurzívan felsorolható nyelv}
\noindent \textbf{Az $L_{\acute{a}tl\acute{o}}$ nyelv}: Az $L_{\acute{a}tl\acute{o}}$ nyelv azon $\left\{0, 1\right\}$
feletti Turing-gépek bináris kódjait tartalmazza, melyek nem fogadják el önmaguk kódját, mint bemenő szót, azaz
$L_{\acute{a}tl\acute{o}} = \left\{w_{i} \ | \ i \geq 1, w_{i} \notin L(M_{i}) \right\}$\\
\noindent \textbf{Tétel}: $L_{\acute{a}tl\acute{o}} \notin RE$.
\subsubsection{Egy rekurzívan felsorolható, de nem eldönthető nyelv}
\noindent \textbf{Az $L_{u}$ nyelv}: Tekintsük azon $(M, w)$ párok halmazát (egy megfelelő bináris szóban elkódolva),
ahol $M$ egy $\left\{0, 1\right\}$ bemenő ábécé feletti Turing-gép, $w$ pedig egy $\left\{0, 1\right\}$ feletti
szó úgy, hogy $w \in L(M)$, azaz $M$ elfogadja $w$-t. Ezt a nyelvet jelöljük $L_{u}$-val.
$L_{u} = \left\{\langle w_{i},w_{j} \rangle \ | \ i, j \geq 1, w_{j} \in L(M_{i}) \right\}$\\
\noindent \textbf{Tétel}: $L_{u} \in RE$.\\
\noindent \textbf{Tétel}: $L_{u} \notin R$.
\subsubsection{További tételek}
\begin{enumerate}
\item Legyen $L$ egy nyelv. Ha $L, \bar{L} \in RE$, akkor $L \in R$. Következmény: a rekurzívan felsorolható
nyelvek nem zártak a komplementerképzésre.
\item Ha $L \in R$, akkor $\bar{L} \in R$, azaz a rekurzív nyelvek zártak a komplementerképzésre.
\end{enumerate}
\subsubsection{További eldönthetetlen problémák}
\noindent \textbf{Kiszámítható függvény}: Legyen $\Sigma$ és $\Delta$ két ábécé és $f$ $\Sigma^{*}$ból
$\Delta^{*}$-ba képző függvény. Azt mondjuk, hogy $f$ kiszámítható, ha van olyan $M$ Turing-gép, hogy
$M$-et egy $w \in \Sigma^{*}$ szóval a bemenetén elindítva, $M$ úgy áll meg, hogy a szalagján a
$f(w) \in \Delta^{*}$ szó van.\\
\noindent \textbf{Eldöntési problémák visszavezetése}: Legyen $L_{1} \subseteq \Sigma^{*}$ és $L_{2} \subseteq \Delta^{*}$
két eldöntési probléma. $L_{1}$ visszavezethető $L_{2}$-re ($L_{1} \leq L_{2}$), ha van olyan
$f : \Sigma^{*} \to \Delta^{*}$ kiszámítható függvény, hogy minden $w \in \Sigma^{*}$ szóra
$w \in L_{1}$ pontosan akkor teljesül, ha $f(w) \in L_{2}$ is teljesül.\\
\noindent \textbf{Tétel}: Legyen $L_{1} \subseteq \Sigma^{*}$ és $L_{2} \subseteq \Delta^{*}$
két eldöntési probléma és tegyük fel, hogy $L_{1}$ visszavezethető $L_{2}$-re. Ekkor igazak a következő állítások:
\begin{enumerate}
\item Ha $L_{1}$ eldönthetetlen, akkor $L_{2}$ is.
\item Ha $L_{1} \notin RE$ , akkor $L_{2} \notin RE$.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{A megállási probléma}: Legyen $L_{h} = \left\{\langle M, w \rangle \ |\ M \ meg\acute{a}ll \ a \ w \ bemeneten \right\}$,
azaz $L_{h}$ azon $\langle M, w \rangle$ Turing-gép és bemenet párosokat tartalmazza elkódolva, melyekre $M$ megáll a $w$ bemeneten.
$L_{h}$ eldönthetetlen ($L_{u}$ visszavezethető $L_{h}$-ra), viszont $L_{h} \in RE$.\\
\noindent \textbf{Az $L_{\ddot{u}res}$ probléma}: Legyen $L_{\ddot{u}res} = \left\{\langle M \rangle \ |\ L(M) = \emptyset \right\}$.
$L_{\ddot{u}res}$ eldönthetetlen ($L_{u}$ visszavezethető $L_{\ddot{u}res}$-re), valamint $L_{\ddot{u}res} \notin RE$.\\
\noindent \textbf{Rekurzívan felsorolható nyelvek (nem triviális) tulajdonsága}: Ha $\mathcal{P}$ a rekurzívan felsorolható
nyelvek egy halmaza, akkor $\mathcal{P}$ a rekurzívan felsorolható nyelvek egy tulajdonsága. Ha $\mathcal{P} \not = \emptyset$ és
$\mathcal{P} \not = RE$, akkor $\mathcal{P}$ nem triviális tulajdonsága a rekurzívan felsorolható nyelveknek.\\
\noindent \textbf{Rice tétele}:
Adott $\mathcal{P}$ tulajdonságra jelöljük $L_{\mathcal{P}}$-vel azon Turing-gépek kódjainak halmazát, amelyek
$\mathcal{P}$-beli nyelvet ismernek fel. Ha $\mathcal{P}$ a rekurzívan felsorolható nyelvek egy nem triviális tulajdonsága, akkor
$L_{\mathcal{P}}$ eldönthetetlen.\\
\noindent \textbf{Post Megfelelkezési Probléma (röviden PMP)}: A PMP problémát a következőképpen definiáljuk. Legyen
$\Sigma$ egy legalább két betűt tartalmazó ábécé és legyen $D = \left\{[\frac{u_{1}}{v_{1}}], ..., [\frac{u_{n}}{v_{n}}]\right\}$
egy dominóhalmaz, melyben $n \geq 1$ és $u_{1}, ..., u_{n}, v_{1}, ..., v_{n} \in \Sigma^{+}$. A kérdés az, hogy van-e egy olyan
$1 \leq i_{1}, ..., i_{m} \leq m$ ($m \geq 1$) indexsorozat, melyre teljesül, hogy a $[\frac{u_{i_{1}}}{v_{i_{1}}}], ..., [\frac{u_{i_{m}}}{v_{i_{m}}}]$ dominókat egymás mellé írva alul és felül ugyanaz a szó adódik, azaz
$u_{i_{1}} ... u_{i_{m}} = v_{i_{1}} ... v_{i_{m}}$. Ebben az esetben a fenti dominósorozatot a D egy megoldásának nevezzük.
Formális nyelvként a következőképpen definiálhatjuk a PMP-t:
PMP $= \left\{ \langle D \rangle \ |\ D-nek \ van \ megold\acute{a}sa \right\}$. PMP eldönthetetlen.
\subsection{Bonyolultságelmélet}
A bonyolultságelmélet célja a megoldható (és ezen belül az eldönthető) problémák osztályozása a megoldáshoz szükséges
erőforrások (jellemzően az idő és a tár) mennyisége szerint.
\subsubsection{Időbonyolultsági fogalmak}
\noindent \textbf{TIME}: Legyen $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ függvény. \textbf{TIME}($f(n)$) $= \left\{L \ | \ L \ eld\ddot{o}nthet\tilde{o} \ \mathcal{O}(f(n)) \ id\tilde{o}ig\acute{e}ny\tilde{u} \ Turing-g\acute{e}ppel \right\}$\\
\noindent \textbf{P} $=\bigcup_{k \geq 1}$ \textbf{TIME}($n^{k}$). Tehát \textbf{P} azon nyelveket tartalmazza,
melyek eldönthetőek polinom időkorlátos determinisztikus Turing-géppel. Ilyen például a jól ismert \textsc{Elérhetőség}
probléma, melynek bemenete egy $G$ gráf és annak két kitüntetett csúcsa ($s$ és $t$). A kérdés az, hogy van-e a $G$-ben
út $s$-ből $t$-be. Ha az \textsc{Elérhetőség} problémára nyelvként tekintünk, akkor írhatjuk azt, hogy\\
\textsc{Elérhetőség} $= \left\{\langle G, s, t \rangle \ | \ G-ben \ van \ \acute{u}t \ s-b\tilde{o}l \ t-be\right\}$.\\
Könnyen megadható az \textsc{Elérhetőség} problémáját polinom időben eldöntő determinisztikus Turing-gép, tehát
\textsc{Elérhetőség} $\in$ \textbf{P}.\\
\noindent \textbf{NTIME}: Legyen $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ függvény.\\ \textbf{NTIME}($f(n)$) $= \left\{L \ | \ L \ eld\ddot{o}nthet\tilde{o} \ \mathcal{O}(f(n)) \ id\tilde{o}ig\acute{e}ny\tilde{u} \ nemdeterminisztikus\ Turing-g\acute{e}ppel \right\}$\\
\noindent \textbf{NP} $=\bigcup_{k \geq 1}$ \textbf{NTIME}($n^{k}$).
Az \textbf{NP}-beli problémák rendelkeznek egy közös tulajdonsággal az alábbi értelemben.
Ha tekintjük egy \textbf{NP}-beli probléma egy példányát és egy lehetséges "bizonyítékot"
arra nézve, hogy ez a példány "igen" példánya az adott problémának,
akkor ezen bizonyíték helyességének leellenőrzése polinom időben elvégezhető.
Ennek megfelelően egy \textbf{NP}-beli problémát eldöntő nemdeterminisztikus Turing-gép
általában úgy működik, hogy "megsejti" a probléma bemenetének egy lehetséges megoldását,
és polinom időben leellenőrzi, hogy a megoldás helyes-e.
Tekintsük a \textsc{Sat} problémát, amit a következőképpen definiálunk. Adott egy $\phi$ ítéletlogikai KNF.
A kérdés az, hogy kielégíthető-e. Annak a bizonyítéka, hogy a $\phi$ kielégíthető, egy olyan változó-hozzárendelés,
ami mellett kiértékelve a $\phi$-t igaz értéket kapunk. Egy tetszőleges változó-hozzárendelés tehát a $\phi$
kielégíthetőségének egy lehetséges bizonyítéka .Annak leellenőrzése pedig, hogy ez a
hozzárendelés tényleg igazzá teszi-e $\phi$-t, polinom időben elvégezhető. A \textsc{Sat}
\textbf{NP}-beli probléma.\\
\noindent Az a definíciókból következik, hogy fennáll a \textbf{P} $\subseteq$ \textbf{NP} tartalmazás.
\subsubsection{NP-teljes problémák}
\noindent \textbf{Polinom időben kiszámítható függvény}: Legyen $\Sigma$ és $\Delta$ két ábécé és $f$ $\Sigma^{*}$ból
$\Delta^{*}$-ba képző függvény. Azt mondjuk, hogy $f$ polinom időben kiszámítható, ha kiszámítható egy polinom
időigényű Turing-géppel.\\
\noindent \textbf{Eldöntési problémák polinom idejű visszavezetése}:
Legyen $L_{1} \subseteq \Sigma^{*}$ és $L_{2} \subseteq \Delta^{*}$ két eldöntési probléma.
$L_{1}$ polinom időben visszavezethető $L_{2}$-re ($L_{1} \leq_{p} L_{2}$), ha $L_{1} \leq L_{2}$ és
a visszavezetésben használt $f$ függvény polinom időben kiszámítható.\\
\noindent \textbf{Tétel}: Legyen $L_{1}$ és $L_{2}$ két probléma úgy, hogy $L_{1} \leq_{p} L_{2}$. Ha $L_{2}$
\begin{enumerate}
\item \textbf{P}-beli, akkor $L_{1}$ is \textbf{P}-beli.
\item \textbf{NP}-beli, akkor $L_{1}$ is \textbf{NP}-beli.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{NP-teljes probléma}: Legyen $L$ egy probléma. Azt mondjuk, hogy $L$ \textbf{NP}-teljes, ha
\begin{enumerate}
\item \textbf{NP}-beli, és
\item minden további \textbf{NP}-beli probléma polinom időben visszavezethető $L$-re.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Tétel}: Legyen $L$ egy \textbf{NP}-teljes probléma. Ha $L \in$ \textbf{P}, akkor \textbf{P} $=$ \textbf{NP}.\\
\noindent \textbf{Megjegyzés}: Jelenleg \textbf{NEM} tudunk \textbf{P}-beli \textbf{NP}-teljes problémáról!!!\\
\noindent \textbf{Tétel}: Legyen $L_{1}$ egy \textbf{NP}-teljes, $L_{2}$ pedig \textbf{NP}-beli probléma.
Ha $L_{1} \leq_{p} L_{2}$, akkor $L_{2}$ is \textbf{NP}-teljes.\\
\noindent \textbf{Cooke tétele}: \textsc{Sat} \textbf{NP}-teljes.\\
\noindent Legyen $k \geq 1$.
k\textsc{Sat} $= \left\{\langle \phi \rangle \ | \ \phi \ minden \ tagj\acute{a}ban \ k \ liter\acute{a}l \ van. \right\}$\\
\noindent \textbf{Tétel}: 3\textsc{Sat} \textbf{NP}-teljes, ugyanis \textsc{Sat} $\leq_{p}$ 3\textsc{Sat}.\\
\noindent \textsc{Teljes részgráf} $= \left\{\langle G, k \rangle \ | \ G \ v\acute{e}ges \ gr\acute{a}f, k \geq 1, \ G-nek \ \exists \ k
\ cs\acute{u}cs\acute{u} \ r\acute{e}szgr\acute{a}fja \right\}$.
Tehát a \textsc{Teljes részgráf} azon $G$ és $k$ párokat tartalmazza, megfelelő ábécé feletti
szavakban elkódolva, melyekre igaz, hogy $G$-ben van $k$ csúcsú teljes részgráf,
azaz olyan részgráf, melyben bármely két csúcs között van él.\\
\noindent \textsc{Teljes részgráf}$= \left\{\langle G, k \rangle \ | \ G \ v\acute{e}ges \ gr\acute{a}f, k \geq 1, \ G-nek \ \exists \ k
\ cs\acute{u}cs\acute{u} \ r\acute{e}szgr\acute{a}fja \right\}$.
Tehát a \textsc{Teljes részgráf} azon $G$ és $k$ párokat tartalmazza, megfelelő ábécé feletti
szavakban elkódolva, melyekre igaz, hogy $G$-ben van $k$ csúcsú teljes részgráf,
azaz olyan részgráf, melyben bármely két csúcs között van él.\\
\noindent \textsc{Független csúcshalmaz} $= \left\{\langle G, k \rangle \ | \ G \ v\acute{e}ges \ gr\acute{a}f, k \geq 1, \ G-nek \ \exists \ k \ elem\tilde{u} \ f\ddot{u}ggetlen \ cs\acute{u}cshalmaza \right\}$.
Vagyis a \textsc{Független csúcshalmaz} azon $G$ és $k$ párokat tartalmazza, melyekre
igaz, hogy $G$-ben van $k$ olyan csúcs, melyek közül egyik sincs összekötve a
másikkal.\\
\noindent \textsc{Csúcslefedés} $=$\\
$\left\{\langle G, k \rangle \ | \begin{array}{lr}
\ G \ v\acute{e}ges \ gr\acute{a}f, k \geq 1, \ G-nek \ van \ olyan \ k \ elem\tilde{u} \ cs\acute{u}cshalmaza,\\
mely \ tartalmazza \ G \ minden \ \acute{e}l\acute{e}nek \ legal\acute{a}bb \ 1 \ v\acute{e}gpontj\acute{a}t.
\end{array}
\right\}$.\\
\noindent \textsc{Teljes részgráf}, \textsc{Független csúcshalmaz} és \textsc{Csúcslefedés} \textbf{NP}-teljesek
(\textsc{Teljes részgráf} $\leq_{p}$ \textsc{Független csúcshalmaz} $\leq_{p}$ \textsc{Csúcslefedés}).\\
\noindent \textsc{Utazóügynök} $=$\\
$\left\{\langle G, k \rangle \ |
\begin{array}{lr}
\ G \ v\acute{e}ges \ ir\acute{a}ny\acute{i}tatlan \ gr\acute{a}f, \ az \ \acute{e}leken \ egy-egy \
pozit\acute{i}v \ eg\acute{e}sz \ s\acute{u}llyal \ \acute{e}s \\
van \ G-ben \ legfeljebb \ k \ \ddot{o}sszs\acute{u}ly\acute{u} \ Hamilton \ k\ddot{o}r
\end{array}
\right\}$.\\
\noindent \textbf{Tétel}: Az \textsc{Utazóügynök} probléma \textbf{NP}-teljes.
\subsubsection{Tárbonyolultság}
A tárbonyolultságot egy speciális, úgynevezett offline Turing-gépen vizsgáljuk.\\
\noindent \textbf{Off-line Turing-gép}: Offline Turing-gépnek nevezünk egy olyan többszalagos Turing-gépet,
mely a bemenetet tartalmazó szalagot csak olvashatja, a többi, ún. munkaszalagokra
pedig írhat is. Az offline Turing-gép tárigényébe csak a munkaszalagokon
felhasznált terület számít be.\\
A továbbiakban Turing-gép alatt minidig offline Turing-gépet értünk. Most
definiáljuk a tárbonyolultsággal kapcsolatos nyelvosztályokat.\\
\noindent \textbf{SPACE}(f(n)) = $\left\{L|L \ eld\ddot{o}nthet\tilde{o} \ \mathcal{O}(f(n)) \ t\acute{a}rig\acute{e}ny\tilde{u} \
determinisztikus \ Turing-g\acute{e}ppel \right\}$\\
\noindent \textbf{NSPACE}(f(n)) = $\left\{L|L \ eld\ddot{o}nthet\tilde{o} \ \mathcal{O}(f(n)) \ t\acute{a}rig\acute{e}ny\tilde{u} \
nemdeterminisztikus \ Turing-g\acute{e}ppel \right\}$\\
\noindent \textbf{PSPACE} $=\bigcup_{k > 0}$ \textbf{SPACE}($n^{k}$)\\
\noindent \textbf{NPSPACE} $=\bigcup_{k > 0}$ \textbf{NSPACE}($n^{k}$)\\
\noindent \textbf{L} $=$ \textbf{SPACE}($\log_{2} n$) \\
\noindent \textbf{NL} $=$ \textbf{NSPACE}($\log_{2} n$) \\
\noindent \textbf{Savitch tétele}: Ha $f(n) \geq \log n$, akkor \textbf{NSPACE}($f(n)$) $\subseteq$ \textbf{SPACE}($f^{2}(n)$).
\end{document}
Reference in New Issue View Git Blame Copy Permalink